[論文レビュー] Weights of the mod $p$ kernel of the theta operators

Siegfried Boecherer, Toshiyuki Kikuta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化されたシーベルのθ作用素 $\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核におけるシーベルモジュラー形式の重みについて検討し、$p$ に対して小さい重みの下で、特定の条件下で重みが $p$ で割り切れる必要があることを確立している。本稿では、任意のモジュラー形式から核内の要素を構成するための新しい作用素 $A^{(j)}(M)$ を導入し、さまざまな重みと素数について具体的な例とフィルトレーションを提示している。

ABSTRACT

We give some relations between the weights and the prime $p$ of elements of the mod $p$ kernel of the generalized theta operator $Θ^{[j]}$. In order to construct examples of the mod $p$ kernel of $Θ^{[j]}$ from any modular form, we introduce new operators $A^{(j)}(M)$ and show the modularity of $F|A^{(j)}(M)$ when $F$ is a modular form. Finally, we give some examples of the mod $p$ kernel of $Θ^{[j]}$ and the filtrations of some of them.

研究の動機と目的

• シーベルモジュラー形式における一般化されたθ作用素 $\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核に属する要素について、重みと素数 $p$ に必要な条件を特定すること。
• ラマヌジャンの $\theta$-作用素の古典的理論を、高次元のシーベルモジュラー形式およびその mod $p$ 核へと拡張すること。
• 新しい作用素 $A^{(j)}(M)$ を用いて、任意のモジュラー形式から $\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の新しい要素を構成すること。
• さまざまな重みと素数について、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の特定の要素のフィルトレーションを計算・表形式で提示すること。
• シーベルモジュラー形式の $p$ を法とする合同関係およびフィルトレーションに関する先行結果を一般化すること。

提案手法

• モジュラー形式に作用する新しい作用素 $A^{(j)}(M)$ を導入し、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の要素を生成するように保証し、出力のモジュラー性を確保する。
• $\Theta^{[j]}$ を、$F = \sum_T a_F(T) q^T$ に対して $\sum_T T a_F(T) q^T$ として定義し、$p$ を法とする核を分析する。
• シーベルモジュラー形式のフーリエ展開および $p$-進性の理論を用いて、核の構造を研究する。
• クリンゲン・エーゼンスタイン級数および尖点形式に関する既知の結果を活用し、核内に具体的な例を構成する。
• 詳細な表を用いて、重みが 100 未満、素数が 80 未満の範囲で、核要素のフィルトレーションを計算する。
• シンプレクティック群およびスラッシュ作用素の作用を用いて、モジュラー不変性を定義し、$F|A^{(j)}(M)$ のモジュラー性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーベルモジュラー形式が $\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核に属するためには、重み $k$ と素数 $p$ にどのような条件が必要か？
• RQ2 任意のモジュラー形式から、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の新しい要素を体系的に構成できるか？
• RQ3 小さい重みとさまざまな素数について、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の要素の明示的フィルトレーションは何か？
• RQ4 重みと素数が変化する際、核要素のフィルトレーションはどのように振る舞うか、特に $p$-可除性との関係で。
• RQ5 古典的 $\theta$-作用素の性質が、シーベルモジュラー形式の文脈における高ランクの $\Theta^{[j]}$ 作用素へとどの程度一般化されるか？

主な発見

• 重みが $p$ に対して小さい場合、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核に属する任意の要素の重み $k$ は、特定の条件下で $p$ で割り切れる必要がある。これは、セールとカッツの結果を高次元のシーベルモジュラー形式へと一般化したものである。
• $A^{(j)}(M)$ 作用素は、任意のモジュラー形式 $F$ から $\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の要素を効果的に生成でき、$F|A^{(j)}(M)$ は依然としてモジュラー性を保つ。
• 重み $k = 12, 16, 24, 30, 48, 54, 58, 60$ および素数 $p = 23, 31, 47, 59, 73$ など、さまざまな組み合わせについて、$\Theta^{[j]}$ の mod $p$ 核内の要素の具体的な例を提供している。
• 核要素のフィルトレーションを計算・表形式で提示した。例えば、重み 24、$p=23$ の場合、$\omega_1(F) = 1$ であり、重み 54、$p=59$ の場合も $\omega_1(F) = 1$ である。
• $\Theta^{[2]}$ の核には、重み $k = 18, 24, 28, 30, 38, 42, 48, 50, 54, 58, 60, 66, 68, 72, 74, 78, 80, 83, 84, 88, 90, 92, 93, 96, 98$ および $p < 80$ の下で非ゼロの形式が含まれる。
• $\Theta^{[1]}$ については、重み 24、$p=23$ の場合、および重み 54、$p=59$ の場合に、フィルトレーション $\omega_1(F)$ が 1 であることを確認した。これは、$p$-進ノルムが最小であることを示している。