[論文レビュー] Weil Spaces and Weil-Lie Groups

Wolfgang Bertram|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の可換な基本環上でのWeil空間およびWeil-Lie群を導入し、位相的体を超える無限小微分幾何学を一般化する。Weil空間はWeil代数から集合への関手として定義され、無限小自己同型を用いてWeil-Lie群にリー代数構造を定義し、そのリー代数が標準的なリー括弧を備えたベクトル場の空間に同型であることを示す。これは、離散的および特異的状況への古典的リー理論の拡張である。

ABSTRACT

We define Weil spaces, Weil manifolds, Weil varieties and Weil Lie groups over an arbitrary commutative base ring K (in particular, over discrete rings such as the integers), and we develop the basic theory of such spaces, leading up the definition of a Lie algebra attached to a Weil Lie group. By definition, the category of Weil spaces is the category of functors from K-Weil algebras to sets; thus our notion of Weil space is similar to, but weaker than the one of Weil topos defined by E. Dubuc (1979). In view of recent result on Weil functors for manifolds over general topological base fields or rings by A. Souvay, this generality is the suitable context to formulate and to prove general results of infinitesimal differential geometry, as started by the approach developed in Bertram, Mem. AMS 900.

研究の動機と目的

• 任意の可換な基本環、特にℤのような離散環を含む、無限小微分幾何学の一般枠組みを構築すること。
• 離散環や特異的空間では失敗する位相的アプローチの制限を克服すること。
• Weil空間をWeil代数から集合への関手として定義し、多様体や接バンドルの概念を一般化すること。
• 無限小自己同型と自然変換を用いてWeil-Lie群のリー代数を構成すること。
• Weil-Lie群のリー代数が、標準的なリー括弧を備えたベクトル場の空間に同型であることを示すこと。

提案手法

• Weil空間は、𝕂-Weil代数の圏から集合の圏への関手として定義され、各Weil代数𝔸に対して、M^𝔸という集合が対応し、これは𝔸接バンドルの役割を果たす。
• Weil法則はこのような関手間の自然変換であり、𝔸に依存して変化する𝔸接写像f^𝔸: M^𝔸 → N^𝔸を符号的に記述する。
• Weil代数を無限小の環として用い、𝔸 = 𝕂 ⊕ 𝔪（𝔪は冪零イデアル）の形で一般化し、双数や高階無限小量を一般化する。
• Weil-Lie群のリー代数は、恒等写像のまわりの自己同型関手のファイバーとして実現され、ベクトル場の空間と同一視される。
• リー括弧は群の交換子公式により回復される：[ε₁X, ε₂Y]_group = ε₁ε₂[X,Y]_alg であり、群論的括弧と代数的括弧を結ぶ。
• 理論がカルテジアン閉であること、内部ホム対象を許容し、微分幾何学の合成的アプローチを支えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散環（例：ℤ）上でのリー理論を、従来の位相的アプローチが失敗する状況に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 微分幾何学における高階無限小構造を記述する、適切なカテゴリカルかつ代数的枠組みは何か？
• RQ3 リー群のリー代数は、その点関手と無限小自己同型のみから再構成可能か？
• RQ4 Weil代数は滑らかな写像の一般化されたスカラー拡張としてどのように機能するか？また、Weil関手の役割は何か？
• RQ5 Weil多様体上の微分作用素とその多様体の自己同型群のリー代数との関係は何か？

主な発見

• Weil空間の圏はカルテジアン閉であり、内部ホム対象を許容し、微分幾何学の合成的アプローチを可能にする。
• Weil-Lie群のリー代数は、底にある空間上のベクトル場の空間に同型であり、標準的なリー括弧は公式 [X,Y](x) = dX(x)Y(x) - dY(x)X(x) で与えられる。
• Weil-Lie群のリー代数におけるリー括弧は、群の交換子から得られる：[ε₁X, ε₂Y]_group = ε₁ε₂[X,Y]_alg。
• 乗法sを備えたWeil多様体上の微分作用素は、X(p·q) = X(p)·q + p·X(q) を満たすベクトル場にちょうど一致し、ベクトル場のリー部分代数をなす。
• 乗法を備えたWeil多様体の自己同型群自体もWeil多様体であり、そのリー代数は乗法の微分作用素の空間に一致する。
• 基点を備えた対称空間に対して、リー三重系は対称性の−1固有空間として自然に実現され、2が可逆であればリー代数はℤ/2ℤ-次数をもつ。