[論文レビュー] Well-posedness of a Pulsed Electric Field Model in Biological Media and its Finite Element Approximation

Habib Ammari, De‐Han Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Microbial Inactivation Methods参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間的に変化する電導度σおよび誘電率εを有する不均一な生物学的媒体におけるパルス電場をモデル化するための有限要素法の適切な定式化と最適収束性を確立する。本稿では、任意のパルス形状に対して空間的（h²）および時間的（τ）に最適収束率を達成する完全離散ガラーキン有限要素スキームを提案する。ただし、領域間の界面が正確に解像されているものとする。

ABSTRACT

This work aims at providing a mathematical and numerical framework for the analysis on the effects of pulsed electric fields on biological media. Biological tissues and cell suspensions are described as having a heteregeneous permittivity and a heteregeneous conductivity. Well-posedness of the model problem and the regularity of its solution are established. A fully discrete finite element scheme is proposed for the numerical approximation of the potential distribution as a function of time and space simultaneously for an arbitrary shaped pulse, and it is demonstrated to enjoy the optimal convergence order in both space and time. The proposed numerical scheme has potential applications in the fields of medicine, food sciences, and biotechnology.

研究の動機と目的

• パルス電場の数学的フレームワークを、電気的性質が不均一な生物学的組織に対して厳密に構築すること。
• 任意のパルス形状下での電位分布モデルの適切な定式化と正則性を確立すること。
• 空間および時間の両方で最適収束性を保証する完全離散有限要素スキームを設計すること。
• 生体医工学、食品加工、バイオフィーリング制御への応用が可能な数値ツールを提供すること。

提案手法

• 空間的に変化する電導度σおよび誘電率εを有する生物学的媒体における電位をモデル化する時間依存偏微分方程式を定式化する。
• 連続性の方法と弱形式を用いて、ヒルバート空間設定下での弱解の存在および一意性を証明する。
• 空間方向に半離散有限要素スキームを導入し、時間方向に後退差分法を用いて時間離散化を実施する。
• ラクス＝ミルグラムの定理を用いて、界面が正確に解像されている条件下での完全離散スキームの安定性および収束性を証明する。
• H¹およびL²ノルムにおける誤差推定を導出し、L²(I;V)でO(τ + h)、L²(I;H)でO(τ + h²)の最適収束次数を示す。
• 区分的定数時間再構成とエネルギー推定を用いて、時間誤差を評価し、連続解と離散解を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生物学的媒体におけるパルス電場モデルの初期境界値問題が適切に定式化される条件は何か？
• RQ2 生物学的組織内の電導度および誘電率の不連続界面を越えて、解の正則性はどのように振る舞うか？
• RQ3 任意のパルス形状下での電位分布に対する完全離散有限要素スキームの最適収束速度は何か？
• RQ4 異なる電気的性質を有する領域間の界面が正確に解像されている場合、数値スキームは最適収束性を維持できるか？
• RQ5 提案されたスキームにおける空間的および時間的離散化誤差は、H¹およびL²ノルムでどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• モデル問題は弱い意味で適切に定式化されており、事前エネルギー推定および連続性の方法を用いて解の存在および一意性が確立された。
• 電導度および誘電率が界面を越えて不連続である場合、各部分領域内での解はより高い正則性を示す。
• 半離散有限要素スキームは、H¹およびL²ノルムの両方で最適収束次数を達成し、誤差境界はメッシュサイズhに比例する。
• 完全離散スキームは、界面が正確に解像されているものとする仮定の下で、L²(I;V)でO(τ + h)、L²(I;H)でO(τ + h²)の最適収束次数を達成する。
• 誤差推定はエネルギー法、ポンカラーレの不等式、安定性バインディングを用いて導出され、hおよびτに依存しない定数を含む。
• 任意のパルス形状に対して、数値スキームは安定かつ収束するため、神経刺激、食品加工、バイオフィーリング防止への応用に適している。