[論文レビュー] Well-posedness of supercritical SDE driven by Lévy processes with irregular drifts

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、非退化な $\alpha$-安定的Lévy過程に駆動される、臨界を超えるストキャスティック・ディファレンシャル方程式（SDE）のクラスについて、時間に依存する Hölder連続性を示す係数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ の非一様なドリフトを有する場合に、強い適切性（strong well-posedness）を確立する。拡散係数は一様楕円性およびリプシッツ連続性を満たす。主な結果は、ドリフトがリプシッツでない場合でも、強解の存在およびパスワイズ一意性が保証されることであり、これは、不規則な係数を伴う超臨界領域への先行研究の拡張である。

ABSTRACT

In this paper, we study the following time-dependent stochastic differential equation (SDE) in ${\bf R}^d$: $$ d X_{t}= σ_t(X_{t-}) d Z_t + b_t(X_{t})d t, \quad X_{0}=x\in {\bf R}^d, $$ where $Z$ is a $d$-dimensioanl nondegenerate $α$-stable-like process with $α\in(0,2)$ (including cylindrical case), and uniform in $t\geq 0$, $x\mapsto σ_t(x): {\bf R}^d o {\bf R}^d\otimes {\bf R}^d$ is Lipchitz and uniformly elliptic and $x\mapsto b_t (x)$ is $β$-order Hölder continuous with $β\in(1-α/2,1)$. Under these assumptions, we show the above SDE has a unique strong solution for every starting point $x \in {\bf R}^d$. When $σ_t (x)={\bf I}_{d imes d}$, the $d imes d$ identity matrix, our result in particular gives an affirmative answer to the open problem of Priola (2015).

研究の動機と目的

• 非退化な $\alpha$-安定的Lévy過程に駆動される、不規則なドリフトを有する超臨界 SDE のクラスについて、強解の存在および一意性を確立すること。
• ドリフトがリプシッツではなく、指数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ の Hölder 連続性を満たす場合の、強い適切性の未解決問題を解消すること。
• 純ジャンプの Lévy ノイズを伴う超臨界領域において、Zvonkin の変換およびノイズによる正則化技術を拡張すること。
• 局所化、停止時刻の議論、およびドリフトの Besov 空間推定を組み合わせることで、非リプシッツドリフトの場合に対処すること。
• 非ガウス的で超臨界的な Lévy ノイズの下で、不規則な係数を有する SDE の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• プロセスが遠くにジャンプしない領域において解を構成するため、停止時刻の列 $\tau_n$ における局所化および帰納的議論を用いる。
• 摂動ドリフト $b^\ell_t(x) = b_t(x) + \sigma_t(x)\ell$ を導入することで、Zvonkin 型変換を修正し、局所時間区間における可解性を保証する。
• 切断および拡張技術を用いて、半径 $\varepsilon/2$ の局所球上で一様楕円性およびリプシッツ連続性を満たす新しい拡散係数 $\sigma'$ を定義する。
• Besov 空間推定に依拠し、ドリフトの Hölder 半ノルムを制御する。$\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ に対して $\|b\|_{B^\beta_{p,\infty}} \leq C\|b\|_{C^\beta}$ を示す。
• Lévy-Itō分解を用いて小ジャンプと大ジャンプを分離し、小ジャンプ成分に注目する。これには補正付きポアソン確率測度 $\tilde{N}$ を用いる。
• 各区間 $[\tau_n, \tau_{n+1})$ において、マーカフ性および強マーカフ性を活用した Picard の反復によるパスワイズ構成を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが指数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ の Hölder 連続性を満たすがリプシッツでない場合、超臨界 $\alpha$-安定的Lévy過程に駆動される SDE に対して、強い適切性が確立可能か？
• RQ2 拡散成分が存在しない（すなわち、純ジャンプの Lévy ノイズ）場合、ノイズによる正則化効果がパスワイズ一意性を保証するのに十分か？
• RQ3 Zvonkin 変換技術が、非ガウス的で超臨界な領域に、不規則なドリフトを伴う場合に適応可能か？
• RQ4 Lévy 測度および係数にどのような条件を課すと、ドリフトのリプシッツ連続性が欠如する状況下でも、強解の存在および一意性が保証されるか？
• RQ5 ドリフトが局所 Hölder 連続である場合、局所球のサイズに依存する係数を伴う場合、強い適切性が保たれるか？

主な発見

• 拡散係数 $\sigma_t(x)$ が一様楕円性およびリプシッツ連続性を満たし、ドリフト $b_t(x)$ が指数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ で Hölder 連続である限り、任意の初期条件 $x \in \mathbb{R}^d$ に対して SDE は一意な強解を有する。
• 本結果は、$\sigma_t(x) = \mathbb{I}_{d \times d}$ の場合に [12] の未解決問題を解消し、ドリフトがリプシッツでない場合でも強い適切性が保証されることを確認する。
• 解は停止時刻の列 $\tau_n$ を用いて構成され、各区間 $[\tau_n, \tau_{n+1})$ において局所的可解性およびパスワイズ一意性が保証される。
• ドリフトが Besov 空間 $B^\beta_{p,\infty}$ に属し、そのノルムが Hölder 半ノルムによって制御可能であることが示され、PDE を用いた正則化技術の適用が可能になる。
• 解 $X_t$ が ${\mathscr{F}}_t$-可測かつ右連続であり、$\tau_{n+1}$ が停止時刻であることが保証され、解の適応性が確認される。
• 局所 Hölder 連続な係数に対しては、爆発時刻 $\zeta$ まで解が存在し、$\lim_{t \uparrow \zeta} X_t = \infty$ となる。局所的条件下で、グローバル存在への拡張が可能となる。