[論文レビュー] Well-posedness of three-dimensional isentropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum

Zhouping Xin, Shengguo Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非定常圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の3次元系において、劣化粘性係数（$\mu(\rho) = \alpha\rho^\delta$, $0<\delta<1$）と遠方における真空中で、局所的時間における古典的解の適切性を確立する。新たな変数と適合条件を導入することで、非一様ソボレフ空間における初期データのクラスを特定し、そのクラスが正則解をもたらすことを示し、劣化粘性流体と真空中の解の存在に関する未解決問題を解決する。特に、時間 $t\to\infty$ のとき、全時間にわたる正則解の速度の $L^\infty$-ノルムがゼロに減少することはないことを証明しており、これは定常粘性係数理論とは対照的である。

ABSTRACT

In this paper, the Cauchy problem for the three-dimensional (3-D) isentropic compressible Navier-Stokes equations is considered. When viscosity coefficients are given as a constant multiple of the density's power ($ρ^δ$ with $0

研究の動機と目的

• 3次元等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の劣化粘性係数（$\mu(\rho) = \alpha\rho^\delta$, $0<\delta<1$）と遠方における真空中の適切性問題を解決すること。
• 劣化粘性係数と真空中の条件下で、非一様ソボレフ空間における初期データのクラスを特定し、そのクラスが局所的古典的解をもたらすことを明らかにすること。
• 解の漸近的挙動を分析し、特に速度の $L^\infty$-ノルムが時間とともにゼロに減少する可能性があるかどうかを検討すること。
• 密度依存粘性係数と真空中の特徴を扱い、定常粘性係数理論を超えて適切性理論を拡張すること。

提案手法

• 劣化粘性系の非線形構造を扱うために、特に $\delta < 1$ のもとで生じる $\rho^\delta$ の特異性に対処するため、新たな変数を導入する。
• 劣化性と無限遠における真空中にもかかわらず、古典的解の存在を保証するための初期適合条件を課す。
• 時間にわたる解のノルムを制御するため、非一様ソボレフ空間におけるエネルギー推定とソボレフ埋め込み技術を適用する。
• ギャラルダロ・ニレングラフの不等式および有効な粘性フラックスと渦度の推定を用いて、速度の $L^\infty$-ノルムを評価する。
• 標準的放物型理論と継続的議論を用いて、初期データのクラスと適合条件を活用し、局所的適切性を確立する。
• エネルギー推定と運動量方程式の構造を用いて、全時間にわたる正則解について $\|u(t)\|_{L^\infty} \to 0$ が成り立たないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に、劣化粘性係数（$\mu(\rho) = \alpha\rho^\delta$, $0<\delta<1$）と遠方における真空中が存在する場合、古典的解が存在するか。
• RQ2 非一様ソボレフ空間におけるどの初期データのクラスが、劣化粘性係数と真空中の条件下で局所的古典的解をもたらすか。
• RQ3 時間 $t \to \infty$ のとき、速度場の $L^\infty$-ノルムがゼロに減少するような全時間にわたる正則解を構成することは可能か。
• RQ4 劣化粘性係数の下での速度場の漸近的挙動は、定常粘性係数の下での挙動とどのように異なるか。

主な発見

• 本稿は、非一様ソボレフ空間における初期データのクラスを特定し、3次元等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に劣化粘性係数と遠方における真空中が存在する場合、一意な局所的古典的解が存在することを示した。
• 解はエネルギー等式を満たし、$\rho u$ が $W^{1,1}(\mathbb{R}^3)$ に属する正則性のおかげで質量が保存される。
• 任意の全時間にわたる正則解について、時間 $t \to \infty$ のとき、速度場の $L^\infty$-ノルムはゼロに減少しない。これは定常粘性係数のケースとは著しく対照的である。
• 初期データの小さな仮定の下で全解が存在し、$t \to \infty$ の極限で $L^\infty$-ノルムがゼロに減少するのは追加条件が満たされた場合に限られるが、一般の全時間解ではそのような減少は不可能である。
• 証明は、$\delta < 1$ のもとで $\rho^\delta$ の劣化性を扱うために、新しい初期適合条件と変数変換を用いることに依存しており、これにより標準的放物型理論の適用が可能になった。
• この結果は、ブレシュ＝デシャルダン＝メティエイエおよびジウ＝ワン＝シンが提起した劣化粘性流体と真空中の問題の一部を解決した。