[論文レビュー] Well-posedness Properties for a Stochastic Rotating Shallow Water Model

Dan Crisan, Oana Lang|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Stochastic Advection by Lie Transport (SALT) によって導かれたノイズによって駆動される、確率的回転浅水域（SRSW）モデルの適切な定式化を確立している。ノイズ係数が解に対してリプシッツ連続でないにもかかわらず、初期データに連続的に依存する一意な最大解の存在を示している。ノイズが粗い調制を受けていても、正の確率集合上でほとんど確実に大域的解が存在する。

ABSTRACT

In this paper, we study the well-posedness properties of a stochastic rotating shallow water system in which the noise is chosen according to the Stochastic Advection by Lie Transport (SALT) theory. The system is perturbed by noise modulated by a function that is not Lipschitz in the norm where the well-posedness is sought. We show that the system admits a unique maximal strong solution which depends continuously on the initial condition. We also show that the interval of existence is strictly positive and the solution is global with positive probability.

研究の動機と目的

• Stochastic Advection by Lie Transport (SALT) から導かれたノイズで摂動される確率的回転浅水域（SRSW）系の適切な定式化を確立すること。
• ノイズ係数が解ノルムに関してリプシッツでない場合の強いパスワイズ解の存在と一意性を分析すること。
• 解が初期条件に連続的に依存することと、正の確率で大域的解が存在することを証明すること。
• 非リプシッツノイズの課題を、非線形的かつ回転する浅水域系に、決定論的および確率的成分を含めて取り扱うこと。

提案手法

• SRSW系は、幾何的構造を保存するためSALT理論から導かれた確率的項を含むイト型で定式化される。
• 非リプシッツノイズに対処するため、SRSW系に切断手順が適用され、標準的な確率的偏微分方程式技法の適用が可能になる。
• エネルギー法とイトの公式を用いて、切断された系におけるソボレフノルム（H^1およびH^2）における事前推定が得られる。
• 非線形項のバインディングとノイズ係数の構造を用いて、切断された系におけるパスワイズ一意性が確立される。
• モーメント推定とソボレフ空間におけるタイトネスの議論を用いて、近似列の相対的コンパクト性が証明される。
• 適切な事前推定の下で爆発時刻がほとんど確実に無限大であることを示すことにより、正の確率での大域的解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツノイズ係数を有するSRSW系は、初期条件に連続的に依存する一意な最大解を有するか？
• RQ2 ノイズ係数がリプシッツでないにもかかわらず、SRSW系の正の確率での大域的解が確立可能か？
• RQ3 SALTノイズの下で、解の正則性と長時間挙動はいかなるものか？
• RQ4 SALTノイズ構造は、確率的浅水域方程式の適切な定式化特性にどのように影響するか？
• RQ5 ノイズが解ノルムに関してリプシッツでない場合でも、解を正の確率で大域的に拡張可能か？

主な発見

• 非リプシッツノイズ係数を有するSRSW系は、初期条件に連続的に依存する一意な最大解を有する。
• 解は正の確率で大域的に存在し、爆発時刻がほとんど確実に無限大であることを意味する。
• H^1およびH^2ノルムにおける事前推定が得られ、解が爆発時刻までこれらの空間で有界のままであることが示された。
• 切断された系はパスワイズ一意性を示し、これは一意な強い解の存在を証明するために不可欠である。
• モーメントバインディングとソボレフ埋め込みを用いて、近似列の相対的コンパクト性が確立され、大域的解への収束が可能になった。
• ノイズ係数の非リプシッツ性は、SALTノイズの構造とエネルギー推定が正則性の欠如を補償するため、適切な定式化を妨げない。