[論文レビュー] Well-quasi-ordering, tree-width and subquadratic properties of graphs

Aistis Atminas, Vadim Lozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、グラフクラスが部分グラフ関係に関して整列可能であるための必要十分条件を特定する。具体的には、クラスが部分二次的（つまり、n に対して四次式より速くエッジ数が増加しない）である限り、そのクラスが誘導部分グラフ関係に関して整列可能であることと、有界な木幅を持つことが同値であることを示している。この結果は、整列可能性と有界なクリーク幅の間の関係を強化した形の予想を裏付けており、部分二次的クラスにおける整列可能性の決定可能性が多項式時間で可能であることを示している。

ABSTRACT

A hereditary graph property (or a class of graphs) $X$ is subquadratic if there is a subquadratic function $f(n)=o(n^2)$ bounding the number of edges in all $n$-vertex graphs in $X$. In this paper, we prove that a hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded tree-width if and only if it is subquadratic. This verifies (and even strengthens) for subquadratic properties a recent conjecture by Thomass\'e et al. stating that every hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded clique-width. As a byproduct, we also show that deciding well-quasi-orderability for subquadratic classes is an easy task.

研究の動機と目的

• 誘導部分グラフ関係における整列可能性、有界な木幅、部分二次的エッジ成長の間の構造的関係を調査すること。
• Thomassé らによる整列可能性と有界なクリーク幅の関係を示す予想の強化版を検証すること。
• 部分二次的グラフクラスにおける整列可能性が多項式時間で効率的に決定可能かどうかを特定すること。
• 部分二次的エッジ制約が、整列可能な極小グラフクラスを特徴付けるために果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、部分二次的エッジ密度を持つものに注目して、誘導部分グラフ関係下での極小グラフクラスを分析する。
• 特に木幅と整列可能性（WQO）の性質を活用する構造的グラフ理論的手法を用いる。
• 部分二次的クラスが大きな完全グラフを含まないという事実を用いて、木幅の有界性を導出する。
• 部分二次的クラスにおいて、整列可能性と有界な木幅が論理的に同値であることを確立する。
• 整列可能性の決定可能性は、有界な木幅のテストへの還元によって示され、これは既に多項式時間で決定可能であることが知られている。
• 無限の反鎖が誘導部分グラフ順序に存在するならば、部分二次的エッジ制約に反するという事実に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導部分グラフ関係による整列可能性は、部分二次的極小グラフクラスにおいて有界な木幅を意味するか？
• RQ2 整列可能性と有界なクリーク幅の関係を、木幅による特徴づけにまで強化できるか？
• RQ3 部分二次的グラフクラスにおいて整列可能性は多項式時間で決定可能か？
• RQ4 部分二次的エッジ制約は、整列可能な極小グラフクラスにどのような構造的制約を課すか？

主な発見

• 誘導部分グラフ関係に関して整列可能な極小グラフクラスが有界な木幅を持つことは、そのクラスが部分二次的であることに同値である。
• この結果は、Thomassé らの予想の強化版を裏付け、部分二次的クラスにおいて有界な木幅が整列可能性と同値であることを示している。
• 部分二次的極小グラフクラスの集合が整列可能であることと、有界な木幅を持つことは同値である。
• 整列可能性は、有界な木幅のテストに還元できるため、部分二次的クラスにおいて多項式時間で決定可能である。
• 証明では、誘導部分グラフ順序に無限の反鎖が存在するならば、その部分列に四次式より速いエッジ成長が含まれるため、部分二次的仮定に反する。
• この結果は、木幅が無限に拡大する部分二次的クラスは整列可能ではないことを示唆している。