[論文レビュー] Wellposedness of Second Order Master Equations for Mean Field Games with Nonsmooth Data

Chenchen Mou, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 42被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、単調性条件の下で、滑らかでないデータを伴う平均場ゲームにおける2階のマスタ方程式の適切性を、3つの新しい解概念—良い解、弱解、弱可視解—を導入することによって確立する。微分可能性を測度変数で要請しないまま、測度変数における一様リプシッツ推定を用いて、グローバルな存在と一意性を証明し、さらに滑らかでないデータ下でもN人プレイヤーのナッシュ系の収束およびブラウン運動の拡散性が、やや弱い正則性条件下で成立することを検証する。

ABSTRACT

In this paper we study second order master equations arising from mean field games with common noise over arbitrary time duration. A classical solution typically requires the monotonicity condition (or small time duration) and sufficiently smooth data. While keeping the monotonicity condition, our goal is to relax the regularity of the data, which is an open problem in the literature. In particular, we do not require any differentiability in terms of the measures, which prevents us from obtaining classical solutions. We shall propose three weaker notions of solutions, named as {\it good solutions}, {\it weak solutions}, and {\it weak-viscosity solutions}, respectively, and establish the wellposedness of the master equation under all three notions. We emphasize that, due to the game nature, one cannot expect comparison principle even for classical solutions. The key for the global (in time) wellposedness is the uniform a priori estimate for the Lipschitz continuity of the solution in the measures. The monotonicity condition is crucial for this uniform estimate and thus is crucial for the existence of the global solution, but is not needed for the uniqueness in such Lipschitz class. To facilitate our analysis, we construct a smooth mollifier for functions on Wasserstein space, which is new in the literature and is interesting in its own right. Following the same approach of our wellposedness results, we prove the convergence of the Nash system, a high dimensional system of PDEs arising from the corresponding $N$-player game, under mild regularity requirements. We shall also prove a propagation of chaos property for the associated optimal trajectories.

研究の動機と目的

• 測度変数において滑らかでないデータを伴う2階マスタ方程式の適切性に関する未解決問題に取り組むこと。
• 古典的な正則性要件（例えば、測度に関する微分可能性）を緩和しつつ、グローバル可解性を維持すること。
• 最小限の正則性仮定の下で、N人プレイヤーのナッシュ系の収束およびブラウン運動の拡散性を確立すること。
• 確率測度上での解析のための新たな技術的道具として、ウォッサーシュタイン空間上に滑らかなモリフィアーを構築すること。
• 単調性を活用して、測度変数におけるリプシッツ連続性に関する一様事前推定を用いてグローバル適切性を証明すること。

提案手法

• 古典的解が失敗する滑らかでないデータを扱うために、3つの新しい解概念—良い解、弱解、弱可視解—を導入する。
• 解の測度変数におけるリプシッツ連続性に関する一様事前推定を確立する。これはグローバル存在の中心的役割を果たす。
• 確率測度上に定義された関数を正則化するため、ウォッサーシュタイン空間上に新たな滑らかなモリフィアーを構築する。
• 前向き・後ろ向き確率的微分方程式（FBSDE）および確率的表現を用いて、主要な推定を導出する。
• 部分積分および条件付き期待値を用いて、ナッシュ系の勾配推定を導出する。
• 空間の分割とモーメントの有界性を用いて、経験的測度の収束を制御し、ウォッサーシュタイン距離の推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度変数において微分可能性が欠如する場合でも、2階マスタ方程式の適切性を確立できるか？
• RQ2 平均場ゲームのマスタ方程式において滑らかでないデータに対して適切な解概念は何か？また、それらは古典的解とどのように関係するか？
• RQ3 古典的解が存在しない場合でも、グローバル存在に単調性条件が不可欠であるか？
• RQ4 滑らかでないデータ下でも、N人プレイヤーのナッシュ系がマスタ方程式に収束することを証明できるか？
• RQ5 これらの緩和された仮定の下でも、N人プレイヤーのゲームにおける最適軌道のブラウン運動の拡散性は成立するか？

主な発見

• 本稿では、測度変数における微分可能性を要請しない状況下でも、3つの新しい解概念—良い解、弱解、弱可視解—を用いてマスタ方程式のグローバル適切性を確立した。
• 解の測度変数におけるリプシッツ連続性に関する一様事前推定を証明した。この推定はグローバル存在の鍵であり、単調性がこの推定に不可欠である。
• 単調性条件は存在に不可欠であるが、リプシッツクラスの解においては一意性には必要ない。
• ウォッサーシュタイン空間上に新たな滑らかなモリフィアーを構築した。これは独立に価値のある技術的貢献である。
• やや弱い正則性仮定の下で、ナッシュ系がマスタ方程式に収束することを証明し、従来の結果を滑らかでないデータにまで拡張した。
• 最適軌道のブラウン運動の拡散性を確立した。適切なモーメント条件の下で、経験的測度と真の測度の間のウォッサーシュタイン距離はO(1/√N)の速度で減少する。