[論文レビュー] Weyl modules and opers without monodromy

Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Jun 25, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、最高重量によって定まる正則特異点およびモノドロミーのない $\check{\mathfrak{g}}$-オーバーの空間上の関数の代数と、臨界レベルにおけるウェイル加群の自己準同型代数の間の正確な同型を確立する。この結果は、臨界レベルのアフィン・カク＝ムーディ代数の中心の幾何的実現を提供し、モノドロミーのないオーバー理論的データを通じて局所的幾何的ラングランズ対応のテストを可能にする。

ABSTRACT

We prove that the algebra of endomorphisms of a Weyl module of critical level is isomorphic to the algebra of functions on the space of monodromy-free opers on the disc with regular singularity and residue determined by the highest weight of the Weyl module. This result may be used to test the local geometric Langlands correspondence proposed in our earlier work arXiv:math/0508382.

研究の動機と目的

• ウェイル加群の臨界レベルにおける自己準同型代数の幾何的実現を、オーバーを用いて行う。
• アフィン・カク＝ムーディ代数の中心とオーバーの間の対応を、ヴェルマ加群およびバニシング加群の既知の結果に類似させる形でウェイル加群へ拡張する。
• モノドロミーのない幾何的対象（オーバー）と表現論を結びつけることで、局所的幾何的ラングランズ対応のテストを提供する。
• ウェイル加群 $\mathbb{V}_\lambda$ が、所定の残留部を持つモノドロミーのないオーバーの空間上の関数代数上の自由加群であることを示す。

提案手法

• 臨界レベルのアフィン・カク＝ムーディ代数 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$ 及びその完備化 $\widetilde{U}_{\operatorname{crit}}(\widehat{\mathfrak{g}})$ を用い、有限次元 ${\mathfrak{g}}$-加群からの誘導により離散的表現およびウェイル加群を定義する。
• すでに知られている同型 $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}} \cong \operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}({\mathcal{D}}^\times)$ を用い、中心と $\check{\mathfrak{g}}$-オーバー上の関数の間の同型を適用する。
• 正則特異点および残留部 $\varpi(-\lambda - \rho)$ を持つ $\check{\mathfrak{g}}$-オーバーの空間 $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ を導入し、ウェイル加群 $\mathbb{V}_\lambda$ の自己準同型代数をパラメトライズする。
• 普遍 $\check{G}$-バンドル上のアティヤ代数的群の作用を用いて $\mathbb{V}_\lambda$ 上に Lie 代数的群作用を構成し、自由加群構造を可能にする。
• $L_0 = -t\partial_t$ を用いた $\mathbb{Z}$-次数と $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ 上の斉次座標系を導入し、その作用をウェイル代数に持ち上げることで自由性を証明する。
• 最高重量ベクトルと写像 $({\mathbb{V}}_{\lambda})^{\widehat{\mathfrak{n}}_{+}}_{\lambda} \to W_\lambda$ の単射性に基づく背理法を用いて、同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイル加群の臨界レベルにおける自己準同型代数は、正則特異点および所定の残留部を持つ $\check{\mathfrak{g}}$-オーバーの空間上の関数代数と同型であるか？
• RQ2 ウェイル加群とモノドロミーのないオーバーの間の対応を通じて、局所的幾何的ラングランズ対応をテストできるか？
• RQ3 ウェイル加群 $\mathbb{V}_\lambda$ は、$\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ 上の関数代数上の自由加群か？
• RQ4 中心 $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}}$ の $\mathbb{V}_\lambda$ 上の作用は、自明なモノドロミーを持つオーバーの幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 自己準同型代数 $\operatorname{End}_{{\widehat{\mathfrak{g}}}_{\operatorname{crit}}}({\mathbb{V}}_{\lambda})$ は、正則特異点および残留部 $\varpi(-\lambda - \rho)$ を持つ $\check{\mathfrak{g}}$-オーバーの空間上の関数代数 $\operatorname{Fun}(\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}})$ と同型である。
• 空間 $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ は無限次元アフィン空間に同型であり、$L_0$-次数が正の整数である斉次座標系を備える。
• ウェイル加群 $\mathbb{V}_\lambda$ は、$\operatorname{Fun}(\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}})$ 上の自由加群であり、座標とその微分によって生成されるウェイル代数の作用を有する。
• $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}}$ の $\mathbb{V}_\lambda$ 上の作用は、残留部 $\varpi(-\lambda - \rho)$ に対応する商を通じて因子化され、中心のオーバー理論的実現が確認される。
• 中心と自己準同型代数を結ぶ可換図式と整合的であり、ヴェルマ加群およびバニシング加群に対する既知の結果を拡張する。