[論文レビュー] Weyl variations and local sufficiency of linear observers in the mean square optimal coherent quantum filtering problem

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、観測者のハミルトニアンおよび結合演算子のWeyl変化を用いて、線形量子プラントにおける平均二乗最適コherent量子フィルタリング（CQF）問題の一次最適性条件を導出する。線形観測者が線形観測者の中で最適である場合、非線形Weyl摂動のもとでも定常的であることが証明され、線形量子プラントにおける非線形観測者全体のクラスにおいて線形観測者が局所的に十分であることが示される。

ABSTRACT

This paper is concerned with the coherent quantum filtering (CQF) problem, where a quantum observer is cascaded in a measurement-free fashion with a linear quantum plant so as to minimize a mean square error of estimating the plant variables of interest. Both systems are governed by Markovian Hudson-Parthasarathy quantum stochastic differential equations driven by bosonic fields in vacuum state. These quantum dynamics are specified by the Hamiltonians and system-field coupling operators. We apply a recently proposed transverse Hamiltonian variational method to the development of first-order necessary conditions of optimality for the CQF problem in a larger class of observers. The latter is obtained by perturbing the Hamiltonian and system-field coupling operators of a linear coherent quantum observer along linear combinations of unitary Weyl operators, whose role here resembles that of the needle variations in the Pontryagin minimum principle. We show that if the observer is a stationary point of the performance functional in the class of linear observers, then it is also a stationary point with respect to the Weyl variations in the larger class of nonlinear observers.

研究の動機と目的

• 線形観測者を超えた非線形摂動を含む、コherent量子フィルタの最適性解析を拡張すること。
• 既存の変分法が線形コントローラに限定されており、非線形設計による潜在的利点を評価できないという制限を克服すること。
• より広い非線形観測者クラスを考慮しても、線形観測者が局所的に最適であるかどうかを特定すること。
• 横断的ハミルトニアン変分法を用いて、エネルギー演算子の摂動のより広いクラスにおける最適性の必要条件を導出すること。
• Weyl演算子が古典的最適制御におけるニードル変化の量子アナログとして果たす役割を解明すること。

提案手法

• 観測者のエネルギー演算子における摂動に関して、性能関数のGateaux微分を計算するために横断的ハミルトニアンアプローチを用いる。
• ユニタリWeyl演算子の線形結合であるWeyl変化を用いて、観測者のハミルトニアンおよび系-場結合演算子を摂動する。
• 真空状態におけるWeyl演算子を含む期待値を評価するために、系変数の擬多項式のガウス平均を用いる。
• Weyl変化方向に沿ったGateaux微分の消滅を分析することで、最適性の一次必要条件を導出する。
• 期待値計算を簡略化するために、ガウス状態におけるWeyl量子化積分の積分方程式的恒等式に依存する。
• Hudson-Parthasarathy量子確率的微分計算を用いて、線形量子プラントおよび観測者のマコビアンで駆動される真空状態の枠組みで動的挙動をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形量子プラントにおける平均二乗最適コherent量子フィルタリング問題において、非線形量子観測者は線形観測者を上回ることができるか？
• RQ2 線形観測者が線形観測者の中で最適であると同時に、より広い非線形観測者クラスの中でも最適である条件は何か？
• RQ3 量子制御における変分法を、観測者のエネルギー演算子の非線形摂動を含むようにどのように拡張できるか？
• RQ4 Weyl演算子は、古典的最適制御におけるニードル変化に類似した摂動を生成する役割を果たすか？
• RQ5 線形-二次摂動において定常的であることは、より一般的なWeyl変化においても定常的であることを意味するか？

主な発見

• 線形コherent量子観測者が線形観測者の中で性能関数の定常点であるならば、エネルギー演算子の任意のWeyl変化に対しても定常的である。
• Weyl変化を用いて導出された一次必要条件は、線形-二次摂動における定常性条件が満たされる場合にかつその場合にのみ満たされる。
• 線形観測者が線形観測者における最適性条件を満たしているとき、性能関数のGateaux微分はすべてのWeyl変化方向で消える。
• 横断的ハミルトニアン法により、非線形観測者の明示的設計を必要とせずに、非線形摂動に対する感度情報が得られる。
• この結果は、線形観測者がWeyl変化の意味で局所的に十分であることを示唆しており、近接する非線形観測者による改善は不可能である。
• 分析は、Weyl順序多項式のガウス平均および真空状態における期待値の積分方程式的恒等式に依存する。