[論文レビュー] What can we still learn from Brownian motion?

Qiuping A. Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ガウスノイズ下での保存的または弱く減衰するブラウン運動の経路確率が、ラグランジアン作用に指数関数的に依存することを示すことにより、確率的力学の一般化された枠組みを提案する。これにより、最小作用原理を拡張する根本的原理が得られ、リウヴィルの定理が破れ、ボルツマンH定理の新しい基礎が提示される。確率的力学は一般の場合であり、ランダムネスが消える極限で通常のハミルトニアン力学が特殊な場合として現れる。

ABSTRACT

Recent result of the numerical simulation of stochastic motion of conservative mechanical or weakly damped Brownian motion subject to conservative forces reveals that, in the case of Gaussian random forces, the path probability depends exponentially on Lagrangian action. This distribution implies a fundamental principle generalizing the least action principle of the Hamiltonian/Lagrangian mechanics and yields an extended formalism of mechanics for random dynamics. Within this theory, Liouville theorem of conservation of phase distribution breaks down. This opens a way to the Boltzmann H theorem. We argue that the randomness is a crucial distinction between two kingdoms of Hamiltonian/Lagrangian mechanics: the stochastic dynamics and the regular one which is a special case of the first one for vanishing randomness. This distinction was missing in the criticisms of this theorem from Loschmidt, Poincaré and Zermelo.

研究の動機と目的

• 保存的または弱く減衰するブラウン運動がガウスノイズの下で示す統計的挙動を調査すること。
• 確率的力学における経路確率がラグランジアン作用に指数関数的に依存するかどうかを特定すること。
• ランダムネスを含むハミルトニアン／ラグランジュ力学の一般化された力学形式を確立すること。
• ボルツマンH定理に対する長年の批判を解消し、確率的力学と通常の力学の間の欠落した差異を特定すること。
• 位相空間分布の保存を保証するリウヴィルの定理が確率的系では成立しないことの理由を明らかにし、新たな力学的枠組みを提示すること。

提案手法

• 保存的力およびガウス白色ノイズの下での確率的運動の数値シミュレーション。
• 弱い減衰を示す系における位相空間内での経路確率分布の分析。
• ラグランジアン作用の指数関数に比例する指数的経路確率則の導出。
• 決定論的および確率的力学を統合する一般化された力学原理の構築。
• 作用に基づく経路確率を用いて、古典的リウヴィルの定理に代わる新しい統計的形式主義を導出すること。
• 形式主義を応用し、ボルツマンH定理を確率的経路確率の観点から再表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的力が作用するブラウン運動の経路確率は、ラグランジアン作用に指数関数的に依存するか？
• RQ2 一般化された作用原理は、決定論的力学における古典的最小作用原理とどのように異なるか？
• RQ3 ロシュミット、ポincare、ゼルメールによるH定理に対する伝統的な批判が、確率的力学と通常の力学の差異を考慮していないのはなぜか？
• RQ4 リウヴィルの定理の破綻は、どのように確率的系に現れ、その意味は何か？
• RQ5 ボルツマンH定理は、確率的力学における経路確率の根本的原理から再導出可能か？

主な発見

• ガウスノイズ下での弱く減衰するか保存的ブラウン運動の経路確率は、ラグランジアン作用に指数関数的に依存し、P ∝ exp(−S_L / k_B) と表される。ここでS_Lは作用、k_Bは定数である。
• この指数的経路確率は、古典的最小作用原理を確率的力学に拡張する根本的原理を示唆する。
• 決定論的力学において位相空間分布の保存を保証するリウヴィルの定理は、確率的系では、経路確率の時間発展が保存的でないために破綻する。
• この枠組みにより、通常のハミルトニアン力学がノイズ振幅が0に近づく極限で確率的力学の特別な場合として現れることを明らかにする。
• この理論は、分子混合の仮定に依存するのではなく、確率的経路の統計的性質からH定理の非可逆性を導出できるため、ボルツマンH定理の新しい基礎を提供する。