[論文レビュー] What do QAOA energies reveal about graphs?

Márió Szegedy|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、パラメータ最適化を伴わずにQAOAエネルギーを用いることで、グラフ構造の同定を試み、3正則グラフにおける頂点数や三角形密度といったトポロジカルな特徴を明らかにする。QAOAエネルギーは、サイズ18までの非同型3正則グラフおよびサイズ26までの強正則グラフを区別できることを示しており、さらに、非同型グラフ同士で区別不能なエネルギーが、極めて平坦なエネルギー障壁を示す驚くべき分離のない現象（uncoupling現象）を示していることが判明した。

ABSTRACT

Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a hybrid classical-quantum algorithm to approximately solve NP optimization problems such as MAX-CUT. We describe a new application area of QAOA circuits: graph structure discovery. We omit the time-consuming parameter-optimization phase and utilize the dependence of QAOA energy on the graph structure for randomly or judiciously chosen parameters to learn about graphs. In the first part, Following up on Wang et. al. and Brandao et. al. we give explicit formulas. We show that the layer-one QAOA energy for the MAX-CUT problem for three regular graphs carries exactly the information: {\em (# of vertices, # of triangles)}. We have calculated our explicit formulas differently from \cite{wang2018quantum}, by developing the notion of the $U$ polynomial of a graph $G$. Many of our discoveries can be interpreted as computing $U(G)$ under various restrictions. The most basic question when comparing the structure of two graphs is if they are isomorphic or not. We find that the QAOA energies separate all non-isomorphic three-regular graphs up to size 18, all strongly regular graphs up to size 26 and the Praust and the smallest Miyazaki examples. We observe that the QAOA energy values can be also used as a proxy to how much graphs differ. Unfortunately, we have also found a sequence of non-isomorphic pairs of graphs, for which the energy gap seems to shrink at an exponential rate as the size grows. Our negative findings however come with a surprise: if the QAOA energies do not measurably separate between two graphs, then both of their energy landscapes must be extremely flat (indistinguishable from constant), already when the number of QAOA layers is intermediately large. This holds due to a remarkable uncoupling phenomenon that we have only deduced from computer simulation.

研究の動機と目的

• QAOAエネルギーがパラメータ最適化を要せず、グラフの構造的性質を明らかにできるかどうかを検討すること。
• 特に3正則グラフおよび強正則グラフの文脈において、QAOAエネルギーが非同型グラフをどの程度区別できるかを調査すること。
• U多項式および高次密度行列を用いた理論的枠組みを構築し、QAOAエネルギーの計算と分析を行うこと。
• 非同型グラフ同士でQAOAエネルギーが区別不能である場合の意味、特にエネルギー障壁の平坦性に関する理解を深めること。

提案手法

• 本稿では、グラフのU多項式を導入し、1層目QAOAエネルギーを明示的に計算する新たな手法を提示することで、最適化なしに構造的分析が可能になる。
• 密度行列（1次および2次）の再帰的関係を定式化し、QAOA状態の時間発展を計算する。この際、行列要素がビットストリングの等価カット値にのみ依存することを活用する。
• 角度パラメータの積分を用いて選択則を導出する：等価カット値を持つ項のみが寄与し、エネルギー寄与が分離される。
• QAOAダイナミクスを用いて多数のパラメータセットにおける平均エネルギーと標準偏差を計算し、グラフの差異に関する統計的分析を可能にする。
• エネルギー計算におけるキュービットペア間の相関関係を調査するため、高次密度行列への拡張を試みる。
• 理論的導出に加え、エネルギー障壁の挙動、特に非同型グラフペアにおける挙動を観察するための広範な数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAエネルギーをランダムまたは固定パラメータで計算した場合、3正則グラフにおける頂点数や三角形数といった構造的不変量を露わにできるか？
• RQ2 QAOAエネルギーは、どの程度まで非同型3正則グラフおよび強正則グラフを区別できるか？
• RQ3 QAOAエネルギーが2つの非同型グラフを区別できない場合、エネルギー障壁はどのように変化するか。これは、対応する量子状態の時間発展にどのような意味を持つのか？
• RQ4 高次密度行列はQAOAエネルギーの計算と解釈にどのように寄与するか？
• RQ5 非同型グラフ同士でQAOAエネルギーが区別不能である場合、それが極めて平坦なエネルギー障壁と関連する普遍的なメカニズムが存在するか？

主な発見

• 3正則グラフでは、1層目QAOAエネルギーが、U多項式の形式的枠組みにより、正確に頂点数および三角形数を符号化していることが示された。
• QAOAエネルギーは、サイズ18までのすべての非同型3正則グラフおよびサイズ26までのすべての強正則グラフを正しく区別した。
• QAOAエネルギー差がサイズに伴い指数関数的に縮小する非同型グラフペアの系列を同定し、エネルギーに基づく区別可能性に根本的な限界があることを示唆した。
• QAOAエネルギーが2つの非同型グラフを区別できない場合、それらのエネルギー障壁は中間の層数から極めて平坦になることが判明した—定数関数と区別がつかないほどである。
• この平坦性は、シミュレーションから導かれた驚くべき分離現象（uncoupling現象）に起因すると考えられる。この現象では、量子もつれがグラフ構造全体にわたって分離する。
• 本研究は、QAOAダイナミクスおよび高次密度行列が、最適化なしにエネルギー挙動を通じてグラフ構造を分析する強力なツールであることを明らかにした。