[論文レビュー] A Quantum Approximate Optimization Algorithm Applied to a Bounded Occurrence Constraint Problem

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 128

ひとこと要約

この論文は、変数が高々 $D+1$ 個の式に現れる制限付きの Max E3LIN2 問題に対して、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を $p=1$ 階層で適用する。量子アルゴリズムは平均で $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$ 個の式を満たすことが証明され、古典的アルゴリズムの $\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{定数}}{D^{1/2}}\right)$ を上回り、典型的なランダムなインスタンスでは $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$ を満たす。

ABSTRACT

We apply our recent Quantum Approximate Optimization Algorithm to the combinatorial problem of bounded occurrence Max E3LIN2. The input is a set of linear equations each of which contains exactly three boolean variables and each equation says that the sum of the variables mod 2 is 0 or is 1. Every variable is in no more than D equations. A random string will satisfy 1/2 of the equations. We show that the level one QAOA will efficiently produce a string that satisfies $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101 D^{1/2}\, l n\, D} ight)$ times the number of equations. A recent classical algorithm achieved $\left(\frac{1}{2} + \frac{constant}{D^{1/2}} ight)$. We also show that in the typical case the quantum computer will output a string that satisfies $\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3e}\, D^{1/2}} ight)$ times the number of equations.

研究の動機と目的

• QAOA を $p=1$ で使用した際の、変数の出現回数が制限された Max E3LIN2 問題における性能を分析すること。
• 変数の出現回数が制限された条件下で、古典的アルゴリズムに対する量子的優位性を確立すること。
• 量子状態の準備と測定を用いて、満たされる式の期待数の下界を導出すること。
• 特に $D^{-1/2}$ に依存する既知の古典的近似境界と比較し、量子性能を評価すること。

提案手法

• 固定された $\beta = \pi/4$ と最適化された $\gamma$ を用いて QAOA を適用し、量子状態 $|\gamma, \beta\rangle = e^{-i\beta B}e^{-i\gamma C}|s\rangle$ を準備する。ここで $|s\rangle$ は均一重ね合わせ状態である。
• 計算基底における対角演算子として、各節が $\frac{1}{2}(1 \pm Z_a Z_b Z_c)$ の形で寄与するように、満たされる式数を数える目的関数 $C(z)$ を符号化する。
• 期待値 $\langle -\gamma, \pi/4 | C | -\gamma, \pi/4 \rangle$ を計算して、満たされる式の平均数を推定する。
• 分散の分析として、節同士の相関関係を検討し、重なりを示す節のみが変動に顕著に寄与することを示す。
• 各 $d_{abc}$ 値がランダムな $\pm1$ 変数であり、統計的独立性を用いて期待値の分散を抑えられることを活用する。
• 期待値と典型的なケースの両方で性能を評価し、節の目的変数が等確率で 0 または 1 に割り当てられる場合を想定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOA を $p=1$ で使用した場合、制限付き Max E3LIN2 問題において古典的アルゴリズムを上回る近似比を達成できるか？
• RQ2 各変数が高々 $D+1$ 個の式に現れる場合、QAOA が期待的に満たす式の割合はどの程度か？
• RQ3 量子アルゴリズムの性能は、$\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{定数}}{D^{1/2}}\right)$ の古典的境界と比べてどうか？
• RQ4 節の目的変数がランダムに割り当てられる典型的なケースにおいて、QAOA はランダムな推測を上回る性能を示すか？
• RQ5 $\gamma$ と $\beta$ の最適化、または $p$ の増加によって性能を向上させられるか？

主な発見

• QAOA を $p=1$ で使用した場合、期待的に $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$ 個の式が満たされ、ここで $m$ は式の総数である。
• 50/50 の確率で節の目的変数が割り当てられる典型的なランダムインスタンスでは、アルゴリズムは高確率で $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$ 個の式を満たす。
• 性能向上のスケーリングは $\sim D^{-1/2}\ln^{-1}D$ であり、定数因子の面で古典的境界 $\sim D^{-1/2}$ を上回る。
• 出力の分散は $\mathcal{O}(mD^2)$ で抑えられ、$m$ が大きい場合には平均値の周囲に集中することが保証される。
• 分析により、重なりを示す節（少なくとも1つの変数を共有する）のみが分散に顕著に寄与することが判明し、相関する項の数が制限される。
• この結果により、$p=1$ であっても、変数の出現回数が制限された条件下で Max E3LIN2 問題に対する近似比において量子的優位性が確立される。