[論文レビュー] What's wrong with the growth of simple closed geodesics on nonorientable hyperbolic surfaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非可換な双曲的曲面上の単純閉測地線に対するMirzakhaniの漸近的成長法則の不成立を調査する。その結果、測度付きラミネーション上での写像類群の作用が最小でないことと、片側測地線の存在により、長さ ≤ L のような測地線の数は、L の任意の正のべきよりも遅く成長することが示された。モジュライ空間は、無限大のティコノフおよびワイリ・ペテルソン体積を持つことが判明し、無限大体積の幾何的に有限な軌道に類似している。

ABSTRACT

A celebrated result of Mirzakhani states that, if $(S,m)$ is a finite area \\emph{orientable} hyperbolic surface, then the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is asymptotically equivalent to a positive constant times $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$, where $\\mathcal{ML}(S)$ denotes the space of measured laminations on $S$. We observed on some explicit examples that this result does not hold for \\emph{nonorientable} hyperbolic surfaces. The aim of this article is to explain this surprising phenomenon. Let $(S,m)$ be a finite area \\emph{nonorientable} hyperbolic surface. We show that the set of measured laminations with a closed one--sided leaf has a peculiar structure. As a consequence, the action of the mapping class group on the projective space of measured laminations is not minimal. We determine a partial classification of its orbit closures, and we deduce that the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is negligible compared to $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$. We extend this result to general multicurves. Then we focus on the geometry of the moduli space. We prove that its Teichm\\"uller volume is infinite, and that the Teichm\\"uller flow is not ergodic. We also consider a volume form introduced by Norbury. We show that it is the right generalization of the Weil--Petersson volume form. The volume of the moduli space with respect to this volume form is again infinite (as shown by Norbury), but the subset of hyperbolic surfaces whose one--sided geodesics have length at least $\\varepsilon>0$ has finite volume. These results suggest that the moduli space of a nonorientable surface looks like an infinite volume geometrically finite orbifold. We discuss this analogy and formulate some conjectures.

研究の動機と目的

• 非可換な双曲的曲面上でMirzakhaniの単純閉測地線の漸近的成長公式がなぜ不成立となるかを説明すること。
• 片側の葉を持つ測度付きラミネーションの構造と、それが写像類群作用に与える影響を分析すること。
• 非可換な曲面上の単純閉測地線および一般のマルチカーブの成長率を特定すること。
• 非可換な双曲的曲面のモジュライ空間のティコノフおよびワイリ・ペテルソン体積を研究すること。
• 非可換曲面のモジュライ空間と無限大体積の幾何的に有限な軌道との類似性を探ること。

提案手法

• 写像類群が測度付きラミネーションの射影空間上で作用する様子を分析し、片側の葉の存在によって最小でない軌道閉包が生じることを同定する。
• フェンケル＝ニーレンベルク座標と、巧みに構築されたベクトル場の流れを用いて、ティコノフ空間への変形リトラクションを構成する。
• ティコノフ空間の細い部分を、片側マルチカーブを用いた良い開被覆で被覆し、それが片側カーブの複体とホモトピー同値であることを示す。
• 与えられたマルチカーブに交わらない測地線の長さを増加させる流れを構成し、コンパクト部分空間への変形リトラクションを可能にする。
• 測度付きラミネーションの理論とThurstonのコンパクト化を用い、Mirzakhaniの数え上げ測度のアプローチを非可換な場合に拡張する。
• モジュライ空間の幾何と幾何的に有限な軌道を比較し、体積形式と漸近的体積成長を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な双曲的曲面上の単純閉測地線の漸近的成長が、なぜMirzakhaniの多項式的法則に従わないのか。
• RQ2 非可換曲面上の測度付きラミネーション空間に片側の葉が含まれるとき、その構造はいかなるものか。
• RQ3 非可換曲面上では、写像類群の射影測度ラミネーション空間への作用が、可換曲面と比べてどのように異なるか。
• RQ4 非可換な双曲的曲面のモジュライ空間のティコノフおよびワイリ・ペテルソン体積は何か。
• RQ5 非可換曲面のモジュライ空間が、どの程度無限大体積の幾何的に有限な軌道に類似しているか。

主な発見

• 非可換な双曲的曲面上の長さ ≤ L の単純閉測地線の数は、L の任意の正のべきよりも遅く成長し、正規化された数え上げの極限はゼロに収束する。
• 測度付きラミネーションの射影空間上での写像類群の作用は、ラミネーション空間内に片側の葉が存在するため、最小でない。
• 非可換曲面のティコノフ空間は、ティコノフおよびワイリ・ペテルソンの両方の体積形式のもとで無限大体積を持つ。
• 長さ ≥ ε > 0 の片側測地線をもつ双曲的曲面の部分集合は、Norburyの体積形式のもとで有限体積を持つことが示され、幾何的に有限な構造を示唆する。
• ティコノフ空間の細い部分の前線は、片側マルチカーブの複体とホモトピー同値である。
• 非可換曲面のモジュライ空間は、無限大体積の幾何的に有限な軌道に類似しており、ダイナミクスおよび体積成長に影響を及ぼす。