[論文レビュー] When all closed subsets are recurrent?

Jie Li, Piotr Oprocha+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相的力学系（t.d.s.）におけるすべての閉部分集合が再帰的である条件を調査し、コンパクト部分集合の空間への誘導系に注目する。本稿では、$K(X)$ が点ごとの再帰的（すなわち、すべてのコンパクト集合が再帰的）であるための必要十分条件が、元の系 $(X,T)$ が一様剛性をもつことであることを確立し、最小でないが等長的でもなく、非可換でもある、かつ一様剛性をもつ系の構成により、位相的力学系における再帰性と剛性に関する文献における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In the paper we study relations of rigidity, equicontinuity and pointwise recurrence between a t.d.s. $(X,T)$ and the t.d.s. $(K(X),T_K)$ induced on the hyperspace $K(X)$ of all compact subsets of $X$, and provide some characterizations. Among other examples, we construct a minimal, non-equicontinuous, distal and uniformly rigid t.d.s. and a t.d.s. which has dense small periodic sets but does not have dense distal points, solving that way open questions existing in the literature.

研究の動機と目的

• コンパクト部分集合の空間 $K(X)$ における誘導系を研究することで、t.d.s. におけるすべてのコンパクト部分集合が再帰的である条件を同定すること。
• 最小で非等長的で、非可換で、一様剛性をもつ系の存在に関する未解決問題を解決すること。
• 誘導されたハイパースペース系 $(K(X), T_K)$ における再帰性、剛性、等長性、非可換性の関係を明確にすること。
• 点ごとの再帰性および剛性条件の下で、$(K(X), T_K)$ の位相的エントロピーを調査すること。
• ハイパースペース系における再帰的点および非可換点の稠密性と、それらが最小系との非交差性に与える影響を検討すること。

提案手法

• t.d.s. $(X,T)$ のコンパクト部分集合の空間における誘導系 $(K(X), T_K)$ を分析する。
• 再帰的集合 $X^{(\alpha)}$ の順序数ランク分析を用いて再帰構造を研究し、超限帰納法を用いて矛盾を導出する。
• 再帰性を特徴付けるために $n$-剛性および一様剛性の概念を適用する。
• 記号的力学系および逆極限を用いて、最小で非等長的で、非可換で、一様剛性をもつ系の明示的例を構成する。
• コンパクト集合における $\varepsilon$-近傍および周期性を用いた位相的・測度論的道具を用いて、再帰的挙動を分析する。
• Bauer および Sigmund のハイパースペースダイナミクスに関する結果を活用し、再帰性と一様剛性の間の同値性を示すために新しい技法を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導系 $(K(X), T_K)$ が点ごとの再帰的であるとは、すなわちすべてのコンパクト部分集合が再帰的であるとは、どのような場合か？
• RQ2 $(X,T)$ の一様剛性と $(K(X), T_K)$ における点ごとの再帰性の間の正確な関係は何か？
• RQ3 最小で非等長的で、非可換で、一様剛性をもつ t.d.s. は存在するか？
• RQ4 $(K(X), T_K)$ において非可換点が稠密であることは、$(X,T)$ においても同様に稠密であることを意味するか？
• RQ5 $(K(X), T_K)$ が点ごとの再帰的であるとき、その位相的エントロピーは何か？

主な発見

• ハイパースペース $(K(X), T_K)$ が点ごとの再帰的であるための必要十分条件は、元の系 $(X,T)$ が一様剛性をもつことである。
• 可算な $X$ に対して、$K(X)$ が点ごとの再帰的であるための必要十分条件は、$(X,T)$ が一様剛性をもつことである。
• $(K(X), T_K)$ の位相的エントロピーは、$K(X)$ が点ごとの再帰的である（すなわち 1-剛性である）限り 0 である。
• 最小で非等長的で、非可換で、一様剛性をもつ t.d.s. が存在し、文献における未解決問題が解決された。
• 稠密な小さな周期的集合をもつが、稠密な非可換点をもたない t.d.s. が存在し、これにより未解決の問題が解決された。
• $(K(X), T_K)$ において稠密な非可換点をもつが、$(X,T)$ においてはそうではない例が構成され、以前未解決であった問いが確認された。