[論文レビュー] Equivalent conditions of Devaney chaos on the hyperspace

Jian Li|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな距離空間 $X$ 上の連続写像 $T$ によるハイパースペース $K(X)$ におけるDevaneyカオスの同値条件を確立する。$(K(X), T_K)$ がDevaneyカオスであることは、かつ、それがHYシステムであることと同値であり、さらにそれと同値であるのは、元の系 $(X,T)$ がHYシステムであることである—これは全転送性と稠密な小さな周期的集合を持つことによって特徴づけられる。

ABSTRACT

Let $T$ be a continuous self-map of a compact metric space $X$. The transformation $T$ induces natural a continuous self-map $T_K$ on the hyperspace $K(X)$ of all non-empty closed subsets of $X$. In this paper, we show that the system $(K(X),T_K)$ on the hyperspace is Devaney chaotic if and only if $(K(X),T_K)$ is an HY-system if and only if $(X,T)$ is an HY-system, where a system $(Y,S)$ is called an HY-system if it is totally transitive and has dense small periodic sets.

研究の動機と目的

• コンパクトな距離空間 $X$ 上の連続写像 $T$ によって誘導されるハイパースペース $K(X)$ におけるDevaneyカオスの同値条件を同定すること。
• 元の系 $(X,T)$ とそのハイパースペース上に誘導された系 $(K(X), T_K)$ の間のカオスの関係を明確にすること。
• 全転送性と稠密な小さな周期的集合を持つというHYシステムの概念を用いて、$K(X)$ 上のDevaneyカオスを特徴づけること。
• $X$ の力学的性質とそのハイパースペース $K(X)$ の性質との間の橋渡しをすること、特にカオスと周期的構造に焦点を当てる。
• HYシステムの枠組みを用いて、弱混合性と転送性に関する既知の結果を、Devaneyカオスの文脈へと拡張すること。

提案手法

• ハイパースペース $K(X)$ 上の誘導写像 $T_K$ を用いる。$C \in K(X)$ に対して $T_K(C) = T(C)$ と定義され、Hausdorff距離 $d_H$ を備える。
• $K(X)$ 上にVietoris位相を適用し、それが $d_H$ によって誘導される位相と一致することを示し、位相的一致性を保証する。
• 補題3.1を用い、元の系 $(X,T)$ とそのハイパースペース版 $(K(X), T_K)$ の間で、弱混合性、転送性、および弱混合性が同値であることを確立する。
• 「稠密な小さな周期的集合」の概念を導入する—任意の開集合 $U \subset X$ に対して、$U$ の閉部分集合 $Y$ と $k \in \mathbb{N}$ が存在し、$T^k Y \subset Y$ となること。
• $ (K(X), T_K) $ がHYシステムであれば、コンパクトな $K(X)$ の部分集合に属する集合の合併として閉集合 $Y$ を構成することにより、$(X,T)$ が稠密な小さな周期的集合を持つことを示す。
• $ (X,T) $ がHYシステムであれば、$X$ 内の周期的部分集合を用いて $K(X)$ 内の周期的集合を構成することにより、$(K(X), T_K)$ が稠密な周期的点の集合を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導系 $(K(X), T_K)$ がハイパースペース上でDevaneyカオスであるための条件は何か？
• RQ2 $(K(X), T_K)$ のDevaneyカオスは、元の系 $(X,T)$ の力学的性質とどのように関係しているか？
• RQ3 感度に依存せず、転送性や周期性といった構造的性質を用いて、$K(X)$ 上のDevaneyカオスを特徴づける方法はあるか？
• RQ4 HYシステム（全転送性と稠密な小さな周期的集合）という概念が、ハイパースペース上でのDevaneyカオスの同値条件として機能するか？
• RQ5 位相的正確性とハイパースペース設定におけるDevaneyカオスの関係は何か？

主な発見

• $(K(X), T_K)$ がDevaneyカオスであることは、かつ、それがHYシステム（全転送性と稠密な小さな周期的集合）であることと同値である。
• $(K(X), T_K)$ がDevaneyカオスであることは、かつ、それが元の系 $(X,T)$ がHYシステムであることと同値である。これは、元の空間とそのハイパースペースにおけるカオスの間の直接的な同値性を示している。
• 証明により、$(K(X), T_K)$ が稠密な小さな周期的集合を持つならば、$X$ 上でも同様に稠密な小さな周期的集合を持つことが示され、これは $K(X)$ のコンパクト部分集合に属する集合の合併として閉集合 $Y$ を構成することによって達成される。
• $(X,T)$ がHYシステムであれば、$(K(X), T_K)$ に周期的点の稠密な集合が存在することが保証される。これは、$X$ 内の周期的部分集合を用いて $K(X)$ 内の周期的要素を構成することによって示される。
• この同値性は、$X$ が無限かつコンパクトであるという仮定のもとで成り立つ。この仮定により、Devaneyカオスにおける感度は冗長となるため、転送性と稠密な周期的点の両方が十分となる。
• 系3.3は、$(K(X), T_K)$ が正確にDevaneyカオス的（位相的正確で、稠密な周期的点を持つ）であることと、$(X,T)$ が位相的正確なHYシステムであることと同値であることを確立している。