[論文レビュー] Whitehead products in symplectomorphism groups and Gromov-Witten invariants

Olguţa Buşe|ArXiv.org|Nov 5, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックなルールド表面に対して等長的グロモフ＝ウィンターズ不変量を計算し、それらを用いてシンプレクティズム群のホモトピー群における非自明な高次ホワイトヘッド積を検出する。これらの不変量をシンプレクティックファイブレーションとパラメトリックグロモフ＝ウィンターズ不変量に関連づけることで、$g \geq 0$ に対して $ text{π}_*G^{g}_{\lambda} \otimes \mathbb{Q}$ 内のサマエルソン積の非自明性を証明する。特に、$g=1$ の場合にマクダフが提起した問いを解決し、$BG^{0}_{\lambda}$ の有理コホモロジー環の新たな解釈を提供する。

ABSTRACT

Consider any symplectic ruled surface $(M^g_λ,ω_λ)$ given by $(Σ_g imes S^2, λσ_{Σ_g} \oplus σ_{S^2})$. We compute all natural equivariant Gromov-Witten invariants $EGW_{g,0}(M^g_λ;H_k, A-kF)$ for all hamiltonian circle actions $H_k$ on $M^g_λ$, where $A=[Σ_g imes pt]$ and $F= [pt imes S^2]$. We use these invariants to show the nontriviality of certain higher order Whitehead products that live in the homotopy groups of the symplectomorphism groups $G_λ^g$, $g \geq 0$. Our results are sharper when $g=0,1$ and enable us to answer a question posed by D.McDuff in the case $g=1$ and provide a new interpretation of the multiplicative structure in the ring $H^*(BG^0_λ ;\Q)$ found by Abreu-McDuff.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン円作用が働くシンプレクティックなルールド表面 $M^g_{\lambda} = \Sigma_g \times S^2$ に対して、自然な等長的グロモフ＝ウィンターズ不変量を計算すること。
• これらの不変量を用いて、シンプレクティズム群 $G^g_\lambda$ のホモトピー群における非自明な高次ホワイトヘッド積を検出すること。
• D. マクダフが [13] で提起した、$\pi_*G^1_\lambda$ 内の非自明なサマエルソン積に関する問いを解決すること。
• Abreu-McDuff が研究した有理コホモロジー環 $H^*(BG^0_{\lambda}; \mathbb{Q})$ の新たな解釈を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアン円作用 $H_k$ が働く $M^g_\lambda$ に対して、等長的グロモフ＝ウィンターズ不変量 $EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF})$ を計算する。
• 主な入力として、$EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF}) = \pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1}$ が $H^*(BS^1, \mathbb{Q})$ 内で成り立つという結果を用いる。
• これらの不変量を、$\mathbb{C}P^n$ 上のシンプレクティックファイブレーションのパラメトリックグロモフ＝ウィンターズ不変量（PGW）に関連づける。
• シンプレクティックファイブレーションとホモトピーの長完全系列を用いた障害理論的手法を適用し、$\pi_*BG^g_\lambda$ 内の非自明な元を検出する。
• 大きな $\lambda$ におけるファイブレーションの変形と同倫を用いて、自明性の仮定から矛盾を導く。
• グロモフ、アブレウ、マクダフの結果およびほぼ複素構造の分割を用いて、$G^g_\lambda$ の位相を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルールド表面のシンプレクティズム群 $G^g_\lambda$ のホモトピー群に非自明な高次ホワイトヘッド積は存在するか？
• RQ2 等長的グロモフ＝ウィンターズ不変量は、$\pi_*G^g_\lambda \otimes \mathbb{Q}$ 内の非自明なサマエルソン積を検出できるか？
• RQ3 パラメトリックグロモフ＝ウィンターズ不変量は、シンプレクティズム群内の位相的障害を検出できるか？
• RQ4 有理コホモロジー環 $H^*(BG^0_\lambda; \mathbb{Q})$ は、これらの不変量を用いて再解釈可能か？
• RQ5 連続的な写像族 $\beta_\lambda$ が $BG^g_\lambda$ 内で本質的でなくなるような値 $\lambda_0$ が存在するか？

主な発見

• 等長的グロモフ＝ウィンターズ不変量 $EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF})$ は $H^*(BS^1, \mathbb{Q})$ 内で $\pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1}$ に評価され、その非自明性が証明される。
• $g=1$ の場合、$\pi_1G^1_1$ 内に $\widetilde{\gamma}$ が存在し、サマエルソン積 $[\widetilde{\gamma}, \widetilde{\gamma}]_s \in \pi_2G^1_1$ は非自明だが、$\lambda > 1$ のときには消える。
• $g=0$ かつ $k < \lambda \leq k+1$ のとき、$\pi_{4k}(G^0_{k+1})$ 内に位数 $2k+1$ の非自明なサマエルソン積が存在し、非自明な像 $\widetilde{w}_k$ を持つが、$\lambda > k+1$ のときには消える。
• $g \geq 2$ かつ $k > [g/2]$ のとき、$\pi_{2p-2}(G^g_k)$ 内に位数 $p$（$g \leq p \leq 2k+g-1$）の非ゼロサマエルソン積が存在する。
• 連続的な写像族 $\beta_\lambda$ が $BG^g_\lambda$ 内で本質的のままであるという仮定は矛盾を生じさせ、それにより本質的でなくなる臨界値 $\lambda_0$ が存在する。
• その矛盾は、2つのファイブレーションが同型な $2k+g-1$-スケルトンを持つが、一方ではクラス $A-kF$ でPGW不変量が自明で、他方は非自明であるという事実に起因する。