[論文レビュー] Whittaker and Bessel functors for GSp_4

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、幾何 Langlands プログラムにおける symplectic 群 GSp₄ に対して、Whittaker 関手と Bessel 関手を導入し、GLₙ における Gaitsgory のアプローチを一般化する。幾何 Waldspurger 係数カテゴリを定義し、Waldspurger モデルにおける重複度1の結果を証明することで、GSp₄ バンドのモジュライスタック上での hyper-cuspidal な層およびその Hecke 動作用の研究に向けた基盤的ツールを確立する。

ABSTRACT

One of the important technical tools in Gaitsgory's proof of the Vanishing Conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence ([3]) is the theory of Whittaker functors for GL_n. We define Whittaker functors for GSp_4 and study their properties. In a sense, these functors correspond to the maximal parabolic subgroup of GSp_4, whose unipotent radical is not commutative. We also study similar functors corresponding to the Siegel parabolic subgroup of GSp_4, they are related with Bessel models for GSp_4 and Waldspurger models for GL_2. We define the Waldspurger category, which is a geometric counterpart of the Waldspurger module over the Hecke algebra of GL_2. We prove a geometric version of the multiplicity one result for Waldspurger models.

研究の動機と目的

• GLₙ から GSp₄ への Whittaker 関手の理論を拡張すること、特にその最大パラボリック部分群における非可換な unipotent 側の性質を考慮すること。
• GSp₄ の Siegel パラボリック部分群に関連する Bessel 関手を定義し、それらを GL₂ の Waldspurger モデルと関連付けること。
• GL₂ の Hecke 代数上の Waldspurger モジュールの幾何的双対物として Waldspurger 係数カテゴリを導入すること。
• Waldspurger モデルにおける幾何的重複度1の結果を確立し、古典的自動形式と類似した性質を示すこと。
• GSp₄ における幾何 Langlands プログラムにおいて、hyper-cuspidal および cuspidal な層の Hecke 動作用を理解する基盤を築くこと。

提案手法

• 非可換 unipotent 側を有する最大パラボリック部分群を用いて、GLₙ の場合を一般化して GSp₄ に対する Whittaker 関手を構成する。
• GSp₄ バンドのスタック上の層の導来カテゴリのフルな三角的部分カテゴリとして Waldspurger 係数カテゴリを定義する。
• ベクトルバンドルがスキーム上に作用する仕組みを用いて、等変カテゴリにおけるフーリエ変換技術を適用し、異なる群体構造上の層を関連付ける。
• ind-層の文脈において Casselman–Shalika 公式を用いて、Whittaker 機能への記述をし、非局所有限性を考慮する。
• Verdier 対応と基底変換を用いて、フーリエ変換関手が t-正確であり、特性の反転を除いて双対性と可換であることを示す。
• Whittaker 関手の核を解析し、特定の unipotent 部分群上での積分の消失と関連付けることで、幾何的重複度1の結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な unipotent 側を有する最大パラボリック部分群を有する GSp₄ に対して、GLₙ からの Whittaker 関手の一般化はどのように達成できるか？
• RQ2 GL₂ の Waldspurger モジュールの幾何的双対物は何か？ そしてそれは GSp₄ の Bessel モデルとどのように関係するか？
• RQ3 Hecke 関手は、GSp₄ バンドの導来カテゴリの hyper-cuspidal な層の部分カテゴリにどのように作用するか？
• RQ4 Waldspurger モデルに対して、古典的自動形式と類似した幾何的重複度1の結果を確立できるか？
• RQ5 GSp₄ における幾何 Langlands 対応において、hyper-cuspidal 係数カテゴリの直交補空間は果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、GSp₄ バンドのスタック上の層の導来カテゴリのフルな三角的部分カテゴリとして、幾何的 Waldspurger 係数カテゴリを定義し、これが Hecke 関手によって保存されることを示した。
• Waldspurger モデルに対して幾何的重複度1の結果を証明し、hyper-cuspidal な層上の Whittaker 機能への空間が一様次元であることを示した。
• hyper-cuspidal 係数カテゴリ D_hcusp(Bun_G) は、すべての Whittaker 関手の核の共通部分として特徴づけられ、古典的 hyper-cuspidal 自動形式の概念を一般化した。
• 非可換な unipotent 側を有するにもかかわらず、GSp₄ に対する Whittaker 関手が hyper-cuspidal 係数カテゴリ上で単射であることが示され、GLₙ の場合と類似した性質を示した。
• Casselman–Shalika 公式は幾何的設定に適応され、Waldspurger スタック上での ind-対象 K_E が局所的に有限でないため、非自明な分母が現れる。
• フーリエ変換関手は D(Y) と D^W(E^* ×_Z Y) の間の同値であることが確立され、その逆は射影に沿った押し出しで与えられる。この同値性は、特性の反転を除いて Verdier 対応と可換である。