[論文レビュー] Why bouncing droplets are a pretty good model of quantum mechanics

Robert M. Brady, Ross Anderson|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、振動する流体面上を跳ねるドロップが、ローレンツ共変性、プランク定数に代わる定数を含むシュレーディンガー方程式の類似形、電磁的相互作用に類似した逆二乗力、パウリ排他原理に類似した反対称波動関数を示すスピン1/2対称性を有するマクロな量子力学のアナロジーである理由を説明している。このモデルはトンネル効果、回折、量子化された軌道といった量子力学的現象を再現する。

ABSTRACT

In 2005, Couder, Protiere, Fort and Badouad showed that oil droplets bouncing on a vibrating tray of oil can display nonlocal interactions reminiscent of the particle-wave associations in quantum mechanics; in particular they can move, attract, repel and orbit each other. Subsequent experimental work by Couder, Fort, Protiere, Eddi, Sultan, Moukhtar, Rossi, Molacek, Bush and Sbitnev has established that bouncing drops exhibit single-slit and double-slit diffraction, tunnelling, quantised energy levels, Anderson localisation and the creation/annihilation of droplet/bubble pairs. In this paper we explain why. We show first that the surface waves guiding the droplets are Lorentz covariant with the characteristic speed c of the surface waves; second, that pairs of bouncing droplets experience an inverse-square force of attraction or repulsion according to their relative phase, and an analogue of the magnetic force; third, that bouncing droplets are governed by an analogue of Schroedinger's equation where Planck's constant is replaced by an appropriate constant of the motion; and fourth, that orbiting droplet pairs exhibit spin-half symmetry and align antisymmetrically as in the Pauli exclusion principle. Our analysis explains the similarities between bouncing-droplet experiments and the behaviour of quantum-mechanical particles. It also enables us to highlight some differences, and to predict some surprising phenomena that can be tested in feasible experiments.

研究の動機と目的

• 跳ねるドロップ系における観察された量子力学的挙動の物理的メカニズムを説明すること。
• トンネル効果、回折、量子化されたエネルギー準位といった主要な量子現象を再現する古典的流体力学的モデルを確立すること。
• ドロップ・波動系がローレンツ共変性を示し、プランク定数に代わる定数を含むシュレーディンガー方程式の類似形を有することを示すこと。
• 回転するドロップ対がスピン1/2対称性と反対称波動関数を示し、パウリ排他原理に類似することを示すこと。
• 波動媒介回転や偏光光に類似した現象といった、新たなテスト可能な現象を予測すること。

提案手法

• 振動する流体バスタブ上の表面波の波動方程式を導出し、パラメトリック駆動と表面張力の効果により波速 $ c $ が低下することを示す。
• ドロップの運動が、波速 $ c $ が基本的定数として機能するローレンツ共変性を持つ波場に支配されることを確立する。
• ドロップ間の相互作用を相対位相に依存する逆二乗力としてモデル化し、位相勾配から生じる磁気的類似力も含める。
• ドロップの軌道が、プランク定数が系のエネルギーと波速に関連する運動定数に置き換えられた時間に依存するシュレーディンガー方程式に類似した式に従うことを示す。
• スピン1/2対称性と交換に対する反対称性を示す波動関数表現を用いて、回転するドロップ対の挙動を分析し、パウリ排他原理と一致することを確認する。
• ブロッホ球表現を用いて、ドロップの位相と方位を量子スピン状態にマッピングし、$ 2\pi $ 回転における二重被覆性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振動する流体面上を跳ねるドロップは、トンネル効果や回折といった量子力学的現象をどのように再現するのか？
• RQ2 ドロップ間の有効な力の起源は何か？これは電磁的または重力的相互作用に類似しているか？
• RQ3 ドロップ系はシュレーディンガー方程式に類似した式で記述可能か？プランク定数に何が置き換えられるのか？
• RQ4 回転するドロップ対は、パウリ排他原理が予測するスピン1/2の挙動と反対称波動関数を示すのか？
• RQ5 この系は偏光光に類似した現象やその他の量子現象を示すことができ、これらの予測は実験的に検証可能か？

主な発見

• ドロップを誘導する表面波は、波速 $ c $ を用いてローレンツ共変性を示し、これが系内での基本的速度制限として機能する。
• ドロップ対は相対位相に応じて引力または反発力の逆二乗力を受け、位相勾配から生じる磁気的類似力も加わる。
• ドロップの力学的挙動は、プランク定数が系のエネルギーと波速に関連する運動定数に置き換えられた時間に依存するシュレーディンガー方程式に類似した式に従う。
• 回転するドロップ対はスピン1/2対称性を示し、波動関数は回転群の二重被覆に従い、フェルミオンの挙動と一致する。
• 二つのドロップ対が互いに近接すると、全波動場は交換に対して反対称になり、パウリ排他原理を模倣する。
• このモデルは、境界への侵入に近いドロップが位相の非対称性により回転力を受け、光の偏光に類似した偏光波動状態が系内で出現すると予測する。