[論文レビュー] Why does bulk boundary correspondence fail in some non-hermitian topological models

Ye Xiong|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、周期的境界条件から開放的境界条件に移行する際に遭遇する特異点（EP）のため、特定の非エルミート的トポロジカルモデルにおいてバルク-境界対応が成立しないことを示している。境界が導入されると、スペクトルのトポロジカル構造が根本的に変化し、バルクで定義された分数級ウィンディング数がゼロエネルギー境界状態（ZEBS）を予測できなくなる。ZEBSはトポロジカル保護によって生じるのではなく、境界付近のEPによって生じる。

ABSTRACT

Bulk boundary correspondence is crucial to topological insulator as it associates the boundary states (with zero energy, chiral or helical) to topological numbers defined in bulk. The application of this correspondence needs a prerequisite condition which is usually not mentioned explicitly: the boundaries themselves cannot alter the bulk states, so as to the topological numbers defined on them. In non-hermitian models with fractional winding number, we prove that such precondition fails and the bulk boundary correspondence is cut out. We show that, as eliminating the hopping between the boundaries to simulate the evolution of a system from the periodic boundary condition to the open boundary condition, exceptional points must be passed through and the topological structure of the spectrum has been changed. This makes the topological structures of a chain with open boundary totally different from that without the boundary. We also argue that such exotic behavior does not emerge when the open boundary is replaced by a domain-wall. So the index theorem can be applied to the systems with domain-walls but cannot be further used to those with open boundary.

研究の動機と目的

• 分数量ウィンディング数を示す非エルミート的トポロジカル系において、バルク-境界対応がなぜ破綻するかを調査すること。
• 周期的境界条件から開放的境界条件に移行する過程で、スペクトルのトポロジカル構造を変化させる特異点（EP）の役割を特定すること。
• 開放的境界系におけるゼロエネルギー境界状態（ZEBS）がトポロジカルに保護されていないが、境界付近のEPに起因することを明確にすること。
• ドメインウォール系で用いられるインデックス定理が、EPによって引き起こされるスペクトルの変化のため、開放的境界条件に拡張できないことを示すこと。
• 開放的境界条件をとる非エルミート的鎖系のスペクトルを正しく解析するフレームワークを提供すること。特に、OBC系の個別的解析の必要性を強調すること。

提案手法

• 2×2ジョルダンブロックハミルトニアンを持つ1次元非エルミート的トポロジカル模型を分析し、パラメータ変化に伴うEPの挙動を示す。
• 運動量空間と実空間表現を用いて、2種類のEPを区別する：パラメータ空間（r₀, k）における1つと、境界 hopping の（r, φ）におけるもう1つ。
• 鎖の両端間の hopping 強度 r を減少させることで境界を導入し、固有値スペクトルの進化を追跡する。固有値トレースにおけるループの分裂によってトポロジカルな変化を示す。
• Leykamら（2017）のインデックス定理をドメインウォール系に適用し、EPでハミルトニアンが欠損的（defective）になるため、開放的境界条件では失敗することを示す。
• 標準的なLAPACKルーチン（例：zgeev）に代えて、EP付近でLU分解に失敗するため、数値計算を安定化させるために双対正規直交のグラム・シュミット法を用いる。
• 数値計算により、EPが局所的なオンサイトエネルギーの摂動によって分離されても、ZEBSが消えることが確認され、バルクのウィンディング数が未定義であっても同様である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ分数量ウィンディング数を示す非エルミート的系ではバルク-境界対応が破綻するのか？
• RQ2 特異点（EP）は、周期的境界条件から開放的境界条件に移行する過程で、スペクトルトポロジーや構造にどのように影響を与えるのか？
• RQ3 開放的境界条件をとる非エルミート的鎖系におけるゼロエネルギー境界状態（ZEBS）は、トポロジカルに保護されているのか、それともEPに起因するのか？
• RQ4 ドメインウォール系で用いられるインデックス定理が、非エルミート的モデルの開放的境界条件に適用できないのはなぜか？
• RQ5 境界が系のトポロジカル構造を変化させる場合、バルクで定義された分数量ウィンディング数は境界状態を予測できるのか？

主な発見

• 周期的境界条件から開放的境界条件に移行する過程で、系は特異点（EP）を経由する必要があり、これによりスペクトルのトポロジカル構造が根本的に変化する。
• スペクトルトポロジは単一のループから複数のループ（例：より小さなループに分裂）に変化し、開放的境界条件下ではバルクのウィンディング数が適用できなくなる。
• 開放的境界系におけるゼロエネルギー境界状態（ZEBS）は、チラリティ対称性やバルクのウィンディング数による保護ではなく、境界付近またはその近傍に存在するEPに起因する。
• 数値的証拠により、EPが局所的なオンサイトエネルギー摂動によって分離されてもZEBSが消えることが示され、バルクのウィンディング数が未定義であっても同様である。
• ドメインウォール系で用いられるインデックス定理は、EPでハミルトニアンが欠損的になるため、開放的境界条件では失敗する。これにより、H と H†H のスペクトル間の一対一対応が崩れる。
• 標準的な数値ルーチン（例：zgeev）はEP付近で失敗する。長鎖系の安定したスペクトル計算には、双対正規直交のグラム・シュミット法が必要である。