[論文レビュー] Why Quantum Mechanics is Complex

James Thomas Wheeler|ArXiv.org|Aug 15, 1997

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ゼロ・シグネチャを持つキリング計量を備えた自己同型群に基づく8次元実ゲージ理論から、量子力学の複雑さが生じることを提案している。相対論的位相空間における運動量に類似した変数をこの幾何学と関連付けることで、量子力学における虚数単位が幾何的結果として導かれ、経路積分による正準化と拡大因子を統合し、最小のU(1)結合を予測する。

ABSTRACT

The zero-signature Killing metric of a new, real-valued, 8-dimensional gauging of the conformal group accounts for the complex character of quantum mechanics. The new gauge theory gives manifolds which generalize curved, relativistic phase space. The difference in signature between the usual momentum space metric and the Killing metric of the new geometry gives rise to an imaginary proportionality constant connecting the momentumlike variables of the two spaces. Path integral quantization becomes an average over dilation factors, with the integral of the Weyl vector taking the role of the action. Minimal U(1) electromagnetic coupling is predicted.

研究の動機と目的

• 量子力学における複素数の根本的起源を、従来の公理を超えて説明すること。
• 複素構造が実の高次元ゲージ理論から自然に生じる幾何的枠組みを構築すること。
• 自己同型群のゲージ化を通じて、相対論的位相空間幾何学と量子力学的構造を統合すること。
• 経路積分による正準化を、拡大因子の平均として再定式化し、ウェイルベクトルを作用量として扱うこと。
• 最小のU(1)電磁結合が、この幾何的構造の結果として自然に生じることを予測すること。

提案手法

• ゼロ・シグネチャを持つキリング計量を有する自己同型群をゲージ化した新しい8次元実ゲージ理論を導入すること。
• このゲージ理論を用いて一般化された相対論的位相空間多様体を定義し、曲がった位相空間幾何学を拡張すること。
• 標準的な運動量空間（ミンコフスキー計量）と新しい幾何学（ゼロ計量）の2つの異なる幾何学的枠組みにおける運動量に類似した変数を特定すること。
• 2つの計量のシグネチャの違いに起因して、これらの運動量変数の間の虚数比例定数を導出すること。
• 経路積分による正準化を、拡大因子の平均として定式化し、ウェイルベクトルの積分が作用量関数として機能することを示すこと。
• 最小のU(1)電磁結合が、理論のゲージ構造から自然に生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ量子力学は複素数を必要とし、これは公理としてではなく幾何的原理から導けるのか？
• RQ2 実の高次元ゲージ理論が、量子力学の複素構造を再現できるか？
• RQ3 運動量空間と新しい幾何学との間のシグネチャの違いが、なぜ虚数比例定数を生じるのか？
• RQ4 この枠組み内での経路積分正準化における作用量の幾何的起源は何か？
• RQ5 この幾何的構成は、標準的な電磁結合を最小ゲージ相互作用として自然に予測するか？

主な発見

• 量子力学の複素構造は、標準的運動量空間のシグネチャと、新しい8次元ゲージ幾何のゼロ・シグネチャ・キリング計量との幾何的不一致に起因する。
• 虚数単位は、2つの異なる幾何的枠組みにおける運動量に類似した変数の間の比例定数として出現し、実構造と複素構造を結びつける。
• 経路積分正準化は、拡大因子の平均として再定式化され、ウェイルベクトルの積分が作用量関数として機能する。
• 理論は、追加の公理なしに、最小のU(1)電磁結合をゲージ構造の結果として自然に予測する。
• 新しいゲージ理論は、自己同型不変性を備えた8次元実多様体として、曲がった相対論的位相空間を一般化する。
• この枠組みは、量子力学と相対論的位相空間の幾何的統合を提供し、量子理論のより深い幾何的基盤を示唆する。