[論文レビュー] Why walking the dog takes time: Frechet distance has no strongly subquadratic algorithms unless SETH fails

Karl Bringmann|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 30被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、2つの多角形曲線間のFréchet距離を計算するには、強力な部分二次時間（strongly subquadratic time）で行えないことを証明している。具体的には、任意のδ > 0に対してO(n²⁻δ)時間で計算できない。これは、強い指数時間仮説（Strong Exponential Time Hypothesis, SETH）が成り立たない限り成立する。この結果は、連続的Fréchet距離および離散的Fréchet距離の両方に適用され、SETHに基づくタイトな条件付き下界を確立しており、既存のO(n²)アルゴリズムが対数的要因を除いて最適である可能性を示している。

ABSTRACT

The Frechet distance is a well-studied and very popular measure of similarity of two curves. Many variants and extensions have been studied since Alt and Godau introduced this measure to computational geometry in 1991. Their original algorithm to compute the Frechet distance of two polygonal curves with n vertices has a runtime of O(n^2 log n). More than 20 years later, the state of the art algorithms for most variants still take time more than O(n^2 / log n), but no matching lower bounds are known, not even under reasonable complexity theoretic assumptions. To obtain a conditional lower bound, in this paper we assume the Strong Exponential Time Hypothesis or, more precisely, that there is no O*((2-delta)^N) algorithm for CNF-SAT for any delta > 0. Under this assumption we show that the Frechet distance cannot be computed in strongly subquadratic time, i.e., in time O(n^{2-delta}) for any delta > 0. This means that finding faster algorithms for the Frechet distance is as hard as finding faster CNF-SAT algorithms, and the existence of a strongly subquadratic algorithm can be considered unlikely. Our result holds for both the continuous and the discrete Frechet distance. We extend the main result in various directions. Based on the same assumption we (1) show non-existence of a strongly subquadratic 1.001-approximation, (2) present tight lower bounds in case the numbers of vertices of the two curves are imbalanced, and (3) examine realistic input assumptions (c-packed curves).

研究の動機と目的

• 強い指数時間仮説（SETH）の下で、Fréchet距離計算の条件付き下界を確立すること。
• 既存の最良のアルゴリズム（O(n²)）と、部分二次時間アルゴリズムの存在が確認されていないことのギャップを埋めること。
• 近似アルゴリズムおよびc-packed曲線などの現実的入力モデルへの下界の拡張。
• 広く受け入れられた複雑度仮定の下で、Fréchet距離の高速化アルゴリズムが可能かどうかを調査すること。

提案手法

• CNF-SATに帰着する。具体的には、任意のδ > 0に対してO*((2−δ)^N)時間で解けるアルゴリズムが存在しないという仮定の下で、CNF-SATからFréchet距離問題への帰着を構築する。
• CNF-SATのインスタンスをシミュレートできる幾何的・組合せ的性質を持つ2つの多角形曲線を構築する。
• ε、N、M、および曲線の複雑度を丁寧に設計したパrameterizationを用いて、帰着の正しさとタイトさを保証する。
• 構築された曲線間のFréchet距離が小さいことと、元のCNF論理式が充足可能であることの同値性を示す。
• 1.001-近似バージョンを導入することで、近似アルゴリズムに対しても帰着を拡張する。
• c-packed曲線のケースに適合させるために、構築法を変更し、曲線の複雑度が有界な現実的入力シナリオを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SETHのもとで、2つの多角形曲線間のFréchet距離を強力な部分二次時間で計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 Fréchet距離の1.001-近似を強力な部分二次時間で計算できるか？
• RQ3 2つの曲線の頂点数が著しく不均衡な場合、Fréchet距離の条件付き下界はどのように変化するか？
• RQ4 c-packed曲線に対して、(1+ε)-近似がÕ(cn)時間で実行可能なアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 下界は、高次元の曲線やFréchet距離の他の変種へも拡張可能か？

主な発見

• 任意のδ > 0に対して、強力な部分二次時間O(n²⁻δ)でFréchet距離を計算することはできない。これは、強い指数時間仮説（SETH）が成り立たない限り成立する。
• SETHのもとで、連続的および離散的Fréchet距離の両方に対して、Ω(n²)の条件付き下界が成立する。
• SETHが成り立たない限り、Fréchet距離の1.001-近似を強力な部分二次時間で計算するアルゴリズムは存在しない。
• 頂点数が不均衡な曲線の場合、下界は小さい方の曲線のサイズに依存し、SETHのもとではO(n²⁻δ)より速いアルゴリズムは存在しない。
• c-packed曲線の場合、下界は(1+ε)-近似でさえ、Õ(cn)時間で実行可能である可能性が低いことを示唆している。これは、SETHが成り立たない限りである。
• 結果は、多項対数的要因を除いて、既存の最良のアルゴリズムと一致しており、SETHのもとでは現在のアルゴリズムが最適である可能性を示している。