[論文レビュー] Wick rotations in 3D gravity: ML(H2)-spacetimes

Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante|ArXiv.org|Dec 23, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双曲平面における測度付き地図的ラミネーションによって符号化された一定曲率のローレンツ時空であるℳℒ(ℍ²)-時空を構成することにより、3次元重力におけるウィック回転の一貫性のある枠組みを確立する。宇宙論的時間勾配に基づく普遍的なスケーリング関数を定義し、異なる曲率を持つ時空間の正準的移行を可能にし、特に群Γが共(compact)または非共(compact)作用をもつ幾何的に有限な設定において、これらのスケーリングが共形ウィック回転を通じて平坦な正則領域および双曲的多様体を生成することを示している。

ABSTRACT

"Ends of hyperbolic 3-manifolds should support canonical Wick Rotations, so they realize effective interactions of their ending globally hyperbolic spacetimes of constant curvature." We develop a consistent sector of WR-rescaling theory in 3D gravity, that, in particular, concretizes the above guess for many geometrically finite manifolds. ML(H2)-spacetimes are solutions of pure Lorentzian 3D gravity encoded by measured geodesic laminations of the hyperbolic plane H2, possibly invariant by any given torsion-free discrete isometry group G. The rescalings which correlate spacetimes of different curvature, as well as the conformal Wick rotations towards hyperbolic structures, are directed by the gradient of the respective canonical cosmological times, and have universal rescaling functions that only depend on their value. We get an insight into the WR-rescaling mechanism by studying rays of ML(H2)-spacetimes emanating from the static case. In particular, we determine the "derivatives" at the starting point of each ray. We point out the tamest behaviour of the cocompact G case against the different general one, even when G is of cofinite area, but non-compact. We analyze brocken T-symmetry of AdS ML(H2)-spacetimes and related earthquake failure. This helps us to figure out the main lines of development in order to achieve a complete WR rescaling theory.

研究の動機と目的

• 定曲率のグローバルにハイパーボリックな時空に対して、3次元重力における一貫性のあるウィック回転スケーリング（WR）理論のセクターを構築すること。
• 双曲的3次元多様体の端が、異なる曲率のグローバルにハイパーボリックな時空間の有効な相互作用を実現する正準的ウィック回転を支えるというアイデアを具現化すること。
• 特に宇宙論的時間と測度付き地図的ラミネーションに関連して、ℳℒ(ℍ²)-時空におけるスケーリングおよび共形ウィック回転の挙動を分析すること。
• スケーリングおよびT対称性の破綻と地震地図の不成立に関連して、離散群作用Γの共(compact)性と非共(compact)性の違いを明確にすること。
• ウィック回転機構を通じて、いわゆる「たんぱく質的」な双曲的3次元多様体とその終端不変量を、量子双曲的場理論に古典的枠組みで結びつけること。

提案手法

• Γ不変の測度付き地図的ラミネーションを用いて、純粋な3次元ローレンツ的重力の解としてℳℒ(ℍ²)-時空を構成する。
• 各時空に対して正準的宇宙論的時間Tを定義し、その勾配を用いて異なる曲率の時空間のスケーリング変換を方向付ける。
• 宇宙論的時間の値にのみ依存する普遍的なスケーリング関数を適用し、反de Sitter（AdS）時空からミンコフスキー時空への一貫した移行を可能にする。
• 静的状態から発するℳℒ(ℍ²)-時空の光線を分析し、原点における微分を計算することで、スケーリングフローの初期挙動を理解する。
• AdS時空におけるガウス写像と凸核構成を用いて、凸核の過去境界を記述し、完全性と特異点を分析する。
• 先行研究の結果（例：[6]）を応用し、AdS時空における未来の特異点がBZTブラックホールによって「遮断」されることを示し、逆スケーリングを用いて平坦な正則領域を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的に有限な双曲的3次元多様体の端は、定曲率のグローバルにハイパーボリックな時空間の有効な相互作用を実現する正準的ウィック回転を支えることができるか？
• RQ2 3次元重力におけるスケーリング関数は宇宙論的時間にどのように依存するか。また、異なる曲率領域にわたって普遍的であるようにできるか？
• RQ3 特に静的時空およびスケーリングされた解の光線の極限において、ℳℒ(ℍ²)-時空におけるWR-スケーリング機構の挙動はいかなるものか？
• RQ4 群Γの共(compact)性は、スケーリングダイナミクスおよびAdS時空におけるT対称性の破綻と地震地図の不成立にどのように影響するか？
• RQ5 AdS ℳℒ(ℍ²)-時空の逆スケーリングにより、ミンコフスキー空間に平坦な正則領域が得られるか。その結果得られる双曲的3次元多様体の構造は何か？

主な発見

• ℳℒ(ℍ²)-時空のスケーリングは、宇宙論的時間の勾配から導かれる普遍的関数によって支配され、異なる曲率の時空間の一致した移行を可能にする。
• 各ℳℒ(ℍ²)-時空に対して、その正準的宇宙論的時間T*の逆スケーリングにより、ミンコフスキー空間内に平坦な正則領域が得られ、これは一パラメータ族のスケーリングされた時空の極限として得られる。
• AdS時空における凸核の過去境界は非完全であり、ℍ²内の凸核の境界成分に接続されたヌル半平面の和集合から成り、T対称性の破綻を反映している。
• 時間a < π/2における商時空(𝒰⁻¹_λ)∗の等高面は、境界成分が無限大のユークリッド円筒に置き換えられたスケーリングされたパンツΠ_λと等長である。
• スケーリングされた平坦時空の完備化はハンドル体であり、シュットキー群の商として得られ、有限重みのラミネーションを持つ時空の極限として現れる。
• この構成により、宇宙論的時間t → ∞の極限において、静的平坦時空がℳℒ(ℍ²)-時空の極限として得られ、境界成分が+∞の重みを持つことが確認された。