[論文レビュー] Wigner's inequality for conditional probabilities and nonexistence of a realistic model for the two dimensional Hilbert space

Andrei Khrennikov|ArXiv.org|Aug 14, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ベイズの公式によって定義された条件付き確率を欠いた、ベイズが暗黙に使用した古典的確率的モデルがコルモゴロフの公理的確率論と根本的に異なることを示すことによって、ベルの不等式を再考する。主な貢献は、条件付き確率に基づく新しいウィグナー型不等式の証明であり、これは2次元ヒルベルト空間でさえも量子力学に反する。これは、量子系に対して現実的で局所的なモデルが最も基本的なレベルでも存在しないことを示している。

ABSTRACT

We perform the analysis of probabilistic assumptions of Bell's approach. We emphasize that J. Bell wrote about probability without to specify the concrete axiomatics of probability theory. The careful analysis demonstrated that (surprisingly) J. Bell did not apply the classical probability model (Kolmogorov) to describe ``classical physical framework.'' In fact, he created his own probabilistic model and compared it with the quantum one. The crucial point is that J. Bell did not pay attention to {\it conditional probabilities.} We show that conditional probability in his model cannot be defined by classical Bayes' formula. We also use the approach based on Bell-type inequalities in the conventional probabilistic approach, Kolmogorov model. We prove an analog of Wigner's inequality for conditional probabilities and by using this inequality show that predictions of the conventional and quantum probability models disagree already in the case of noncomposite systems (even in the two dimensional case).

研究の動機と目的

• ベルがEPR-ベル解析で暗黙に使用した確率的モデルが、コルモゴロフの公理的確率論とどのように異なるかを明確化すること。
• ベルのモデルがベイズの公式による条件付き確率の適切な定義を欠いていること、これは古典的確率論の核となる特徴であることを特定すること。
• 古典的確率モデルと量子確率モデルの不一致が、もつれや複合系が存在しない非複合系、例えば2次元ヒルベルト空間でも生じることを示すこと。
• 逐次的（同時でない）測定に適用可能な、条件付き確率に基づく新しいベル型不等式を確立すること。
• ピトウスキーとアイーツのモデルのように、量子統計を再現するモデルが、なぜこの新しい不等式を必ず破るかを示すこと。これは、非ベイジアンな条件付き確率に起因する。

提案手法

• 測度論的基礎を持つ「ベリアン的」確率モデルを構築するが、条件付き確率とベイズの公式を省略し、標準的なコルモゴロフモデルと対比する。
• ベイズの公式が成り立つという仮定の下で、条件付き確率に対する新しいウィグナー型不等式を導出し、これは古典的確率的モデルにおけるベル型制約を形成する。
• この不等式を2次元ヒルベルト空間に適用し、もつれや複合系がなくても、量子予測が不等式を破ることを示す。
• ベイズの公式によって定義される古典的条件付き確率と、フォン・ノイマンの射影仮説によって定義される量子条件付き確率を比較分析する。
• フォン・ノイマンの対応枠組みを用いて、古典的および量子統計的モデルを結びつけ、古典的・量子的対応を成立させるために条件付き確率の公理（CP）を含める必要性を強調する。
• 既存の隠れ変数モデル（ピトウスキー、アイーツ、ツァホル）を分析し、これらがベルの不等式を回避するのは古典的確率論と整合しているからではなく、むしろ条件付き確率のベイジアン構造を破っているからであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜベルの非局所性の元々の導出では、彼が使用した確率的枠組みを明確に定義できず、その曖昧さが彼の結果の解釈にどのような影響を与えるのか？
• RQ2 結合確率ではなく条件付き確率に基づくベル型不等式を導出できるか？そしてそれは古典的実在主義にどのような含意を持つのか？
• RQ3 このような条件付き確率不等式の破れが、2次元ヒルベルト空間でも生じるのか？これは、最も基本的なレベルでの非局所性または非実在主義を示唆するのか？
• RQ4 なぜピトウスキーとアイーツのモデルはベルの不等式を破らずに量子統計を再現できるのか？その構造的特徴は何か？
• RQ5 量子系におけるベイズの公式の不成立が、古典的確率論と量子確率論の不一致の根本的原因であるのか？

主な発見

• ベイズの公式が成り立つという仮定の下で、条件付き確率に対する新しいウィグナー型不等式が導出され、これはあらゆる古典的確率的モデルが満たすべきものである。
• この不等式は、もつれや複合系がなくても、2次元ヒルベルト空間においても量子力学によって破られる。これは、条件付き確率のレベルで、いかなる現実的で局所的なモデルも量子予測を再現できないことを証明する。
• ベルが暗黙に使用したベリアン的確率モデルは、ベイズの公式による条件付き確率の定義を欠いており、標準的なコルモゴロフ確率論と不整合である。
• 条件付き確率不等式の破れは、もつれによるものではなく、単一粒子系でさえも、量子の条件付き確率が非ベイジアン構造を持つことによるものである。
• ピトウスキーとアイーツのモデルは、ベルの不等式を回避するのは古典的であるからではなく、むしろ条件付き確率のベイジアン構造を内蔵的に破っているためであり、これは量子の非コルモゴロフ的行動と一致する。
• 本論文は、古典的・量子的対応を成立させるために、条件付き確率対応の公理（CP）が不可欠であると結論づける。その欠如は、このようなモデルを物理的に整合不能にする。