[論文レビュー] Wild character varieties, meromorphic Hitchin systems and Dynkin diagrams

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 58被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ダイニン図を用いて、野生的特徴多様体とメロモーフィックヒチン系の分類を確立し、それらのモジュライ空間が分裂図を介してナカジマのキーバ多様体として現れることを示している。これはクロネイマーによる ALE 空間の構成を一般化し、非アーベルホッジ理論とキーバ構造を結びつけるものであり、'スーパnovA図'と、イソモノドロミー系と乗法的キーバ多様体を統一するグローバルワイル群作用を導入する。

ABSTRACT

The theory of Hitchin systems is something like a "global theory of Lie groups", where one works over a Riemann surface rather than just at a point. We'll describe how one can take this analogy a few steps further by attempting to make precise the class of rich geometric objects that appear in this story (including the non-compact case), and discuss their classification, outlining a theory of "Dynkin diagrams" as a step towards classifying some examples of such objects.

研究の動機と目的

• 幾何的・代数的構造を用いて、野生的特徴多様体とメロモーフィックヒチン系を分類すること。
• メロモーフィックヒチン系の '良い' シンプレクティック葉を導入することで、コンパクトな場合を越えた統合系の理論を拡張すること。
• 非コンパクトかつ野生的な特徴多様体の分類ツールとしての 'ダイニン図' の理論を構築すること。
• P1 上の不規則特異点の幾何とキーバ多様体およびハイパーカイラー多様体を結びつけること。
• 分裂図とスーパnovA図を用いて、クロネイマーによる ALE 空間の構成を高次元ハイパーカイラー多様体へ一般化すること。

提案手法

• 不規則特異点をもつ P1 上のメロモーフィックヒッグス bundle を用いて、野生的特徴多様体のモジュライ空間を定義する。
• ヒチン写像を適用し、ヒッグス場の特徴多項式を通じて統合系を構成する。
• 残留行列 Q の固有値の差からなる '分裂図' Γ(Q) を導入し、特異点の型を符号化する。
• モジュライ空間の開部分集合 M* が、表現空間 Rep(Γ(Q), V) のハミルトニアン還元として得られ、ナカジマのキーバ多様体に同型であることを示す。
• Γ(Q) の各ノードにタイプ A ダイニン図の脚を付加することで 'スーパnovA図' を構成し、スターシェイプのキーバを一般化し、モジュラー解釈を可能にする。
• スーパnovA図のグローバルワイル群を用いて、異なる図の読み方におけるイソモノドロミー系と統合系の間の同型を統一的に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 野生的特徴多様体とメロモーフィックヒチン系は、幾何的不変量を用いてどのように分類可能か？
• RQ2 分裂図は、モジュライ空間をキーバ多様体として実現する上で果たす役割は何か？
• RQ3 スーパnovA図はスターシェイプのキーバをどのように一般化し、ハイパーカイラー多様体のためのモジュラー枠組みを提供するか？
• RQ4 スーパnovA図のグローバルワイル群は、イソモノドロミー系と統合系をどのように統一するか？
• RQ5 これらの構成は、クロネイマーによる ALE 空間の分類を、高次元の ALF ハイパーカイラー多様体へどのように拡張するか？

主な発見

• 野生的特徴多様体の開部分集合 M* は、中心的モーメントマップ値における Rep(Γ(Q), V) のシンプレクティック還元を通じて、ナカジマのキーバ多様体に同型である。
• 分裂図 Γ(Q) は残留行列 Q の固有値の差から構成され、ノード i と j の間に deg(q_i - q_j) - 1 条の辺が存在する。
• スーパnovA図は、Γ(Q) の各ノードにタイプ A ダイニン図の脚を付加することで得られ、以前の構成におけるスターシェイプのキーバを一般化する。
• スーパnovA図のグローバルワイル群は対称性群として作用し、異なる図の読み方におけるイソモノドロミー系と統合系の間の同型を誘導する。
• この構成により、非アーベルホッジ理論とキーバ構造を結びつける新しい乗法的キーバ多様体の理論が得られる。
• ペアオルヴェ II や D0 の特定のケースでは、開部分集合 M* は、エグッチ＝ハンソン空間やアティヤ＝ヒッチン空間といった既知のハイパーカイラー4次元多様体と微分同相である。