[論文レビュー] Willmore surfaces in spheres via loop groups $I$: generic cases and some examples

Josef F. Dorfmeister, Peng Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、調和写像を用いたコンフォーマル・ガウス写像を通じて、球面上のウィルモア超曲面を構成するループ群アプローチを開発する。非コンパクトおよびコンパクトな内部対称空間への調和写像の間に双対性を確立し、グローバル分類を可能にし、$S^6$ 内の非 S-ウィルモア的で、非分岐かつ等方的であるウィルモア 2-球面の初の明示的例を構成することで、エジリが提起した長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we deal with the global properties of Willmore surfaces in spheres via the harmonic conformal Gauss map using loop groups. We first derive a global description of those harmonic maps which can be realized as conformal Gauss maps of some Willmore surfaces (Theorem 3.4, Theorem 3.11 and Theorem 3.18). Then we introduce the DPW procedure for these harmonic maps, and state appropriate versions of the Iwasawa decomposition and the Birkhoff decomposition Theorems. In particular, we show how the harmonic maps associated with Willmore surfaces can be constructed in terms of loop groups. The third main result, which has many implications for the case of Willmore surfaces in spheres, shows that every harmonic map into some non-compact inner symmetric space $G/K$ induces a harmonic map into the compact dual inner symmetric space $U/{(U \cap K^\mathbb{C})}$. From this correspondence we obtain additional information about the global properties of harmonic maps into non-compact inner symmetric spaces. As an illustration of the theory developed in this paper we list examples (some of which were worked out in separate papers by following the theory of the present paper). In particular, we present an explicit, unbranched (isotropic) Willmore sphere in $S^6$ which is not S-Willmore, and thus does not have a dual Willmore surface. This example gives a negative answer to a long open problem (originally posed by Ejiri).

研究の動機と目的

• 球面上のウィルモア超曲面のコンフォーマル・ガウス写像として生じる調和写像を特徴づけること。
• ループ群技術、特にイワサワおよびビルコフ分解を用いた、ウィルモア超曲面の DPW 型構成法を開発すること。
• 非コンパクトおよびコンパクトな内部対称空間への調和写像の間の双対性を確立し、グローバル解析を可能にすること。
• エジリの未解決問題を解決するため、$S^6$ 内に明示的かつ非分岐で等方的なウィルモア 2-球面を構成し、それが S-ウィルモア的でないことを示すこと。
• 特に対称性をもつ球面およびトーラスを含む、有限ユニトン型のウィルモア超曲面を分類するグローバル枠組みを提供すること。

提案手法

• ウィルモア超曲面は調和性によって特徴づけられる対称空間 $SO^+(1,n+3)/SO^+(1,3)\times SO(n)$ へのコンフォーマル・ガウス写像としての調和写像を用いる。
• 正規化されたポテンシャルとウーの公式を用いて、強くコンフォーマル調和的な写像に DPW 手続きを適用する。
• ループ群 $\Omega G$ に対して適切なイワサワおよびビルコフ分解定理を備えたループ群フレームワークを確立する。
• 双対性定理を導入：Uhlenbeck 理論を用いて、非コンパクト内部対称空間 $G/K$ への任意の調和写像が、そのコンパクト双対 $U/(U\cap K^\mathbb{C})$ への調和写像を誘導する。
• 特に等方的超曲面に対して、特定のポテンシャルを用いて DPW システムを解くことで、明示的なウィルモア超曲面を構成する。
• 有限ユニトン型調和写像の分類および正規化ポテンシャル法による例の生成に理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの調和写像が、球面上のウィルモア超曲面のコンフォーマル・ガウス写像として生じるか？
• RQ2 ループ群と適切な分解定理を用いて、ウィルモア超曲面のグローバルな DPW 型構成法を開発できるか？
• RQ3 非コンパクト内部対称空間への調和写像が、常にそのコンパクト双対への調和写像を誘導するか？そのウィルモア超曲面への影響は何か？
• RQ4 $S^6$ 内に非 S-ウィルモア的で、明示的かつ非分岐な等方的ウィルモア 2-球面を構成できるか？これによりエジリの予想が解けたか？
• RQ5 有限ユニトン型調和写像は、特に対称性をもつ球面およびトーラスを含むウィルモア超曲面の分類にどのように利用できるか？

主な発見

• ウィルモア超曲面のコンフォーマル・ガウス写像として生じる調和写像の特徴づけが確立され、定理 3.4、3.11、3.18 を通じてグローバルな記述が得られた。
• ループ群を用いた DPW 手続きをウィルモア超曲面へ拡張し、関連するループ群に対してイワサワおよびビルコフ分解の明示的バージョンが得られた。
• 双対性定理が証明された：非コンパクト内部対称空間 $G/K$ への任意の調和写像が、コンパクト双対 $U/(U\cap K^\mathbb{C})$ への調和写像を誘導する。これにより、非コンパクトな終域のグローバル解析が可能になった。
• 理論により、すべてのウィルモア球面が有限ユニトン型であることが確認され、コンパクト対称空間理論の結果が拡張された。
• 明示的かつ非分岐で等方的な $S^6$ 内のウィルモア 2-球面が構成され、それが S-ウィルモア的でないことが示され、エジリの予想に対する否定的解答が得られた。
• この $S^6$ 内の例は、双対ウィルモア超曲面が一般には存在しないことを示しており、非 S-ウィルモア超曲面では双対性が一般には成立しないことを示している。