[論文レビュー] Witt groups of sheaves on topological spaces

Jonathan Woolf|ArXiv.org|Oct 10, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多面体上のコhomologically constructibleな層のWitt群が一般化されたホモロジー理論をなすことを確立し、係数環が2を逆元に持つ正則ネーター環であるとき、それらがランイキの自由対称L群と同一視されることを示している。有理数係数の場合、これらの群はPL Witt空間の bordism 群の4周期的列挙極限と同型であり、特異空間のL類が有理ホモロジーへの安定ホモロジー作用素として解釈可能になる。

ABSTRACT

This paper investigates the Witt groups of triangulated categories of sheaves (of modules over a ring R in which 2 is invertible) equipped with Poincare-Verdier duality. We consider two main cases, that of perfect complexes of sheaves on locally compact Hausdorff spaces and that of cohomologically constructible complexes of sheaves on polyhedra. We show that the Witt groups of the latter form a generalised homology theory for polyhedra and continuous maps. Under certain restrictions on the ring R, we identify the constructible Witt groups of a finite simplicial complex with Ranicki's free symmetric L-groups. Witt spaces are the natural class of spaces for which the rational intersection homology groups have Poincare duality. When the ring R is the rationals we show that every Witt space has a natural L-theory, or Witt, orientation and we identify the constructible Witt groups with the 4-periodic colimit of the bordism groups of Witt spaces. This allows us to interpret Goresky and Macpherson's L-classes of singular spaces as stable homology operations from the constructible Witt groups to rational homology.

研究の動機と目的

• 多面体に対して、構成可能層のWitt群を用いた一般化されたホモロジー理論を構築すること。
• 適切な環の条件の下で、有限単体的複体の構成可能Witt群をランイキの自由対称L群と同一視すること。
• 有理数係数の場合、構成可能Witt群がPL Witt空間のバーディズム群の4周期的列挙極限と一致することを示すこと。
• 特異空間のL類を、構成可能Wittホモロジーから有理ホモロジーへの安定ホモロジー作用素として解釈すること。
• 幾何的および代数的トポロジー的手法を用いて、写像、積、およびサスペンションに関してL類の自然性と安定性を確立すること。

提案手法

• Poincaré–Verdier双対性を備えた位相空間上の層の三角カテゴリのWitt群を定義する。
• 局所コンパクトハウスドルフ空間上の完全複体と多面体上のコホモロジカルに構成可能な複体に焦点を当てる。
• 係数環で2が可逆であることを要請するバルマーの三角カテゴリにおけるWitt群の枠組みを用いる。
• 構成可能Witt群がEilenberg–Steenrod公理を満たすことを示し、したがって一般化されたホモロジー理論を形成することを確立する。
• ランイキの対称L理論と代数的バーディズムを適用し、有限単体的複体 $ K $ に対して構成可能Witt群が $ H_*(K; bL^ullet(R)) $ と同一視されることを示す。
• L理論の4周期性と $ bCbP^2 $ のシグネチャを用いて、$ bCbP^2 $ との積に関するL類の安定性を示し、Wittホモロジーの列挙極限における全L類の定義を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体上の構成可能層のWitt群が一般化されたホモロジー理論をなすことを示せるか？
• RQ2 有限単体的複体の構成可能Witt群は、ランイキの自由対称L群とどのように関係するか？
• RQ3 有理数係数における構成可能Witt群とPL Witt空間のバーディズム群の関係は何か？
• RQ4 特異空間のL類を、構成可能Wittホモロジーから有理ホモロジーへの安定ホモロジー作用素としてどのように解釈できるか？
• RQ5 この文脈において、写像、積、およびサスペンションに関して全L類の自然性と安定性は何か？

主な発見

• 有限単体的複体 $ K $ の構成可能Witt群は、任意の有限生成 $ R $-加群が有限自由分解を持つとき、ランイキの自由対称L群 $ H_*(K; bL^ullet(R)) $ と同型である。
• $ R = bQ $ の場合、構成可能Witt群はPL Witt空間のバーディズム群の4周期的列挙極限と同型である。
• 全L類 $ \bigoplus_i \bL_i: \bOmega^{\textrm{Witt}}_*(X,A) \to H_*(X,A;\bbQ) $ は、写像、境界写像、および積と可換な自然変換である。
• L類は $ \bbC\bbP^2 $ との乗法に対して安定であり、$ \bL_0(\bbC\bbP^2) = 1 $ であるため、Wittホモロジーの列挙極限における全L類の定義が可能になる。
• 構成可能Witt群の torsion 要素は、有理ホモロジーが torsion-free であるため、L類のもとで0に写像される。
• 特異空間のL類は、構成可能Wittホモロジーから有理ホモロジーへの安定ホモロジー作用素として実現され、L理論の不変量の位相的解釈が与えられる。