[論文レビュー] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular spaces

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、基底空間上の多様体のグロテンディーク群を用いて、特異な複素代数的空間のモチーフ的チャーン類およびヒルツェブルッフ類を導入し、混合ホッジモジュールに基づく関手的構成により、チャーン、トッド、L-類変換を統一する。主な貢献は、正規化とホッジ理論を通じた明示的実現により、古典的特徴的類を一般化し、固有射の押し出しと可換な自然変換 $ T_{y*} $ を得ることである。

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic (or compactifiable analytic) spaces. We introduce a motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total λ-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration, and G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves of O_{X}-modules. We define a natural transformation T_{y*}: K_{0}(var/X)-> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. T_{y*} is a homology class version of the motivic measure corresponding to suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1), the Todd class transformation of the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0) and the L-class transformation of Cappell-Shaneson (for y=1). In the simplest case of a normal Gorenstein variety with ``canonical singularities'' we also explain a relation among the ``stringy version'' of our characteristic classses, the elliptic class of Borisov-Libgober and the stringy Chern classes of Aluffi and De Fernex-Lupercio-Nevins-Uribe. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k of characteristic 0.

研究の動機と目的

• 特異な複素代数的空間に対して相対グロテンディーク群 $ K_0(var/X) $ 上にモチーフ的チャーン類変換 $ mC_* $ を定義すること。
• 特異多様体のチャーン、トッド、L-類変換を一般化するヒルツェブルッフ類変換 $ T_{y*} $ を構成すること。
• 正規化と混合ホッジモジュール理論を用いて、固有射の押し出しと可換な関手的性質を確立すること。
• ホッジ多項式の特殊化を通じて、古典的特徴的類（例：MacPherson, Baum-Fulton-MacPherson, Cappell-Shaneson）を一つの枠組みで統一すること。
• 特徴的類の理論を特徴がゼロの体上の多様体へ拡張し、ストリングィ不変量および楕円的類と関連付けること。

提案手法

• ドゥ・ボアの混合ホッジ理論に由来するブロー・アップ関係を用いて、正規化を介して $ mC_*: K_0(var/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $ を定義する。
• 一般化されたトッド類変換 $ td_{(1+y)} $ を用い、合成 $ T_{y*} = td_{(1+y)} \circ mC_* $ により $ T_{y*}: K_0(var/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $ を構成する。
• 佐藤の代数的混合ホッジモジュール理論を用いて $ mC_* $ の関手的構成を提供し、固有射の押し出しと整合性を保証する。
• 図式 (1) を用いて $ mC_* $、$ T_{y*} $、および一般化されたトッド類の関係を示し、$ T_{y*} $ が $ y = -1, 0, 1 $ で古典的不変量を補間することを示す。
• ホッジフィルトレーション $ gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ とドゥ・ボア複体上のホッジフィルトレーションを関連付け、$ G_0(X) $ 内で $ [gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H)] = [gr_p^F \underline{\Omega}^*_{X}] $ を示す。
• 佐藤の結果を用いて、正規化 $ \pi: X' \to X $ に対して $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) \simeq \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $ および $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ が弱正規化層 $ \mathcal{O}_X^{wn} $ に写ることを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフ的チャーン類は、滑らかから特異な複素代数的空間へどのように拡張可能か？
• RQ2 特異多様体のチャーン、トッド、L-類変換を補間する統一的なヒルツェブルッフ類変換 $ T_{y*} $ を構成可能か？
• RQ3 混合ホッジモジュールは、特異空間の関手的特徴的類を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 新しい類は、ボリスフ・リブゴベールのストリングィチャーン類および楕円的類とどのように関係するか？
• RQ5 ドゥ・ボア複体上のホッジフィルトレーションによるモチーフ的チャーン類のホッジ理論的解釈は何か？

主な発見

• 変換 $ T_{y*} $ は、滑らかな多様体での正規化により一意に定まる：$ T_{y*}([id_X]) = T^*_y(TX) \cap [X] $ であり、ヒルツェブルッフの特徴的類を一般化する。
• 滑らかな $ X $ に対して、モチーフ的チャーン類 $ mC_* $ は $ mC_*([id_X]) = \lambda_y(T^*X) \cap [\mathcal{O}_X] $ を満たし、特異空間への $ \lambda $-類の拡張を実現する。
• 変換 $ T_{y*} $ は、$ y = -1 $ でチャーン＝シュワーツ＝マクファーソン類、$ y = 0 $ でトッド類、$ y = 1 $ で $ L $-類と可換図式を形成し、これらを統一する。
• 有理ホロロジー多様体 $ X $ に対して、予想 $ T_{1*}(X) = L_*(X) $ が成り立ち、$ L $-類はサイクル写像を通じてチャウ群の像に属する。
• ホッジフィルトレーションの成分 $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ は、正規化 $ \pi: X' \to X $ に対して $ \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $ に同型であり、正規化の canonical バンドルと関連付ける。
• 層 $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ は弱正規化層 $ \mathcal{O}_X^{wn} $ に写り、$ X $ がドゥ・ボア特異点を持つことと、$ \mathcal{O}_X \to gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ が準同型的複体であることは同値である。