[論文レビュー] Witten non abelian localization for equivariant K-theory, and the [Q,R]=0 theorem

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Wittenの変形法を用いて、一般の偶数次元コンpakト多様体に作用する可換K理論におけるK理論的非アーベル局所化形式を展開し、ハミルトニアン設定を超えて[Q,R]=0定理を一般化する。多様体上の記号の等変指数を、そのモーメント写像の零点集合付近での変形指数に還元する非アーベル局所化公式を確立し、[Q,R]=0定理を統一的かつ幾何的に証明する。その応用は表現論における重複度および分岐則に及ぶ。

ABSTRACT

The purpose of the present paper is two-fold. First, we obtain a non-abelian localization theorem when M is any even dimensional compact manifold : following an idea of E. Witten, we deform an elliptic symbol associated to a Clifford bundle on M with a vector field associated to a moment map. Second, we use this general approach to reprove the [Q,R] = 0 theorem of Meinrenken-Sjamaar in the Hamiltonian case, and we obtain mild generalizations to almost complex manifolds. This non-abelian localization theorem can be used to obtain a geometric description of the multiplicities of the index of general spin^c Dirac operators (see preprint arXiv:1411.7772).

研究の動機と目的

• 偶数次元コンパクト多様体にモーメント写像を持つ一般の多様体に対して、Wittenの非アーベル局所化のK理論的類似を、等変K理論において開発すること。
• 変形技術と局所化を用いて、[Q,R]=0定理の幾何的・位相的証明を提供すること。
• [Q,R]=0定理を用いて、幾何的量子化における重複度の漸近的挙動と分岐則における構造を明確化すること。
• 表現論における重複度関数の区分的準多項式的挙動とその面への還元を、完全かつ統一的に証明すること。
• [Q,R]=0定理をクリフォードバンドルおよびほぼ複素多様体に拡張し、漸近的表現論への応用を可能とすること。

提案手法

• モーメント写像Φに関連するKirwanベクトル場を用いて、T*M上の等変K理論的記号を変形する。
• 横断的楕円型となる変形記号の族を構成し、指数をΦの零点集合に局所化する。
• 等変K理論における非アーベル局所化定理を適用し、指数計算をΦ⁻¹(0)上および低次元スライス上の固定点データに還元する。
• Atiyah-Segal-Singerの局所化公式を基盤とし、Witten型変形を用いて非ハミルトニアンおよび非コンパクトな設定に拡張する。
• 変形記号およびスライス定理を用いて、クリフォードバンドルに対して[Q,R]=0定理を漸近的意味で確立する。
• シンプレクティック還元のリーマン・ロッホ数を分析することで、幾何的量子化における重複度が区分的準多項式的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wittenの非アーベル局所化手続きは、ハミルトニアン設定から一般の偶数次元多様体上の等変K理論にどのように一般化可能か？
• RQ2 K理論的[Q,R]=0定理の形式的定式化は何か？ そして、変形と局所化を用いてどのように証明可能か？
• RQ3 幾何的量子化における重複度はどのように漸近的に振る舞い、モーメントポリトープの面における構造は何か？
• RQ4 [Q,R]=0定理はクリフォードバンドルおよびほぼ複素多様体に拡張可能か？ その表現論への影響は何か？
• RQ5 分岐則係数の幾何的意味は何か？ そして、シンプレクティック還元およびリーマン・ロッホ数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、T*M上の任意の記号の指数を、Φ⁻¹(0)付近および低次元スライス上の変形指数に還元する一般の非アーベル局所化定理を確立した。
• [Q,R]=0定理は、K理論的Witten変形を用いて直接的かつ幾何的に再証明され、以前の研究の戦略を明確にした。
• クリフォードバンドルに対する漸近的[Q,R]=0定理（定理9.32）が証明され、これが分岐則係数の漸近的挙動を支配する。
• 幾何的量子化における重複度関数mμ(L)は区分的準多項式的であることが示され、モーメントポリトープの面における還元性を示した。
• 表現のテンソル積におけるK不変ベクトル空間の次元は、モーメントポリトープの面に対応するシンプレクティックオーロイドのリーマン・ロッホ数に等しい。
• 面F上での重み(λ̃,λ)の重複度は、Weyl群作用によって誘導されるシンプレクティック同相写像を通じて、還元系における対応する支配的重みの重複度に同型である。