[論文レビュー] Witten's top Chern class via cosection localization

Huai-Liang Chang, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、すべてのネadyセクターを持つランダウ＝ジンスブルク空間に対して、仮想サイクルの共通局在化を用いてウィッテンのトップチャーン類を構成し、ウィッテンの元々の解析的アプローチの代数的類似を与える。この構成は、ポリシュチュク＝ヴァイントロブ、チオド、ファン＝ジャービス＝ルアンによる先行研究と同等であり、すべての期待される公理を満たし、自由な場合に明示的な公式を得る。

ABSTRACT

For a Landau Ginzburg space ([C^n/G],W), we construct the Witten's top Chern classes as algebraic cycles via cosection localized virtual cycles in case all sectors are narrow. We verify all axioms of such classes. We derive an explicit formula of such classes in the free case. We prove that this construction is equivalent to the prior constructions of Polishchuk-Vaintrob, of Chiodo and of Fan-Jarvis-Ruan.

研究の動機と目的

• 共通局在化を用いて、すべてのネadyセクターを持つランダウ＝ジンスブルク空間に対するウィッテンのトップチャーン類の代数的幾何的構成を提供すること。
• 構成されたクラスがウィッテンのトップチャーンクラスに期待されるすべての公理を満たすことを検証すること。
• 新しい代数的構成と、ポリシュチュク＝ヴァイントロブ、チオド、ファン＝ジャービス＝ルアンによる先行の解析的構成との同等性を確立すること。
• 自由な場合におけるクラスの明示的公式を導出すること。
• 共通局在化技術を、場を持つGスピン曲線のモジュライ空間に一般化し、適切性と障害理論との整合性を保証すること。

提案手法

• ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}$ として、場を持つGスピン曲線のモジュライスタックを構成し、${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ 上に完全な障害理論を備えること。
• G不変多項式 $W$ と $\gamma$ のネady条件を用いて、${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}$ の障害層に対する共通局在 $\sigma$ を定義すること。
• 共通局在 $\sigma$ の非全射部分集合が、${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p} \to {\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ の忘却準同型のゼロ切断に含まれることを証明し、これが適切であることを示すこと。
• キムとリーの共通局在化技術を適用し、${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ のチャウ群内に仮想クラス $[{\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}]^{\mathrm{vir}}$ を定義すること。
• 変形理論と局所化チャーン類を用いて、共通局在化クラスと古典的仮想クラスを比較し、周囲のベクトルバンドルの分解とコシュール複体に依存すること。
• ゼロ集合 $\zeta$ と正規コーンの文脈において、局所化チャーン類とギジン写像を分析することで、同等性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネadyランダウ＝ジンスブルク空間に対するウィッテンのトップチャーン類は、共通局在化を用いて代数的に構成可能か？
• RQ2 得られたクラスはウィッテンのトップチャーンクラスに期待されるすべての標準的公理を満たすか？
• RQ3 共通局在化による構成は、ポリシュチュク＝ヴァイントロブ、チオド、ファン＝ジャービス＝ルアンによる解析的構成と同等か？
• RQ4 自由な場合に、クラスに対して明示的な公式が得られるか？
• RQ5 共通局在化技術は、場を持つGスピン曲線のモジュライとどのように作用するか？

主な発見

• 共通局在化仮想クラス $[{\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}]^{\mathrm{vir}}$ は、$A_*({\overline{M}}_{g,\gamma}(G))$ 内にwell-behavedな代数的サイクルを定義し、ウィッテンのトップチャーンクラスに期待されるすべての公理を満たす。
• この構成は、ポリシュチュク＝ヴァイントロブ、チオド、ファン＝ジャービス＝ルアンによる先行の解析的構成と同等であり、後者との同等性は新しい結果である。
• 自由な場合に、ウィッテンのトップチャーンクラスの明示的公式が導出され、タウトロジカルクラスの観点から計算可能な表現が得られる。
• 共通局在 $\sigma$ の非全射部分集合はゼロ切断に含まれており、局在化仮想サイクルの適切性が保証され、共通局在化の適用が可能になる。
• 局所化チャーン類の計算により、$c_{\text{top}}(V,\zeta,\eta) = [X]_{\sigma,\text{loc}}^{\mathrm{vir}}$ が成り立つことが確認され、仮想サイクル理論との整合性が裏付けられる。
• 証明は、ベクトルバンドル $V = K \oplus \mathcal{O}_Y(-Z)$ の分解と、$\zeta$ と $\eta$ のこの分解との整合性に依存しており、これによりコシュール複体とギジン写像の使用が可能になる。