[論文レビュー] Wong-Rosay Theorem in almost complex manifolds

Hervé Gaussier, Alexandre Sukhov|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スケーリング法、Kobayashi無限小擬距離推定、および$J$-擬補間曲線の事前境界を用いて、4次元のほぼ複素多様体における微分同相写像列のコンパクト性基準を確立することにより、Wong-Rosay定理をほぼ複素多様体へ拡張する。構造の画像が$\mathcal{C}^2$で収束し、微分同相写像列が厳密に擬凸境界点に蓄積するならば、領域は$\mathbb{C}^2$における単位球面とbiholomorphicである。これにより、厳密に擬凸なほぼ複素多様体における自己同型群のコンパクト性が得られる。

ABSTRACT

We study the compactness of sequences of diffeomorphisms in almost complex manifolds in terms of the direct images of the standard integrable structure.

研究の動機と目的

• 古典的Wong-Rosay定理をほぼ複素多様体における厳密に擬凸領域へ一般化すること。
• 標準的複素構造の直接像の収束を用いて、ほぼ複素構造における微分同相写像列のコンパクト性基準を確立すること。
• $\mathbb{C}^2$内の有界領域が、$\mathcal{C}^2$-収束するほぼ複素構造下で、自己同型軌道が$\mathcal{C}^2$で厳密に擬凸な境界点に蓄積するならば、その領域は単位球面とbiholomorphicであることを証明すること。
• 4次元のほぼ複素多様体における厳密に擬凸領域の自己同型群が、単位球面へのbiholomorphismが存在しない場合、コンパクト開位相でコンパクトであることを示すこと。

提案手法

• S. Pinchukのスケーリング法を可積分でないほぼ複素設定に適応するが、可積分性の欠如のため修正を要する。
• ほぼ複素多様体上のKobayashi無限小擬距離の下界推定を用いて、構造収束下での幾何の制御を行う。
• 文献[10]の結果の定量的版を用いて、$J$-擬補間曲線に対する事前$C^1$-境界を適用し、スケーリングされた写像の等連続性を保証する。
• 補題1による局所的モデル化を用い、任意のほぼ複素構造を点の近傍で標準構造の小規模な$\mathcal{C}^2$-変形として表現する。
• スケーリングされた微分同相写像列$F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$を構成し、命題2を適用して、標準構造に関して正則である極限写像$F$を抽出する。
• 逆写像列$(F^\nu)^{-1}$にAscoliの定理を適用し、極限写像$\tilde{F}$を抽出する。単位球面へのbiholomorphismが存在する場合、これは矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数平面$\mathbb{C}^2$内の領域からほぼ複素多様体における厳密に擬凸領域への微分同相写像列が、単位球面へのbiholomorphismに収束する条件は何か？
• RQ2 4次元における可積分でないほぼ複素構造へ古典的Wong-Rosay定理を拡張できるか？
• RQ3 ほぼ複素構造の$\mathcal{C}^2$-収束が、自己同型群のコンパクト性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 スケーリング法は、可積分でない設定における$J$-擬補間曲線の幾何を制御するためにどのように適応できるか？
• RQ5 ほぼ複素設定における等連続性を保証するために、$J$-擬補間写像の微分係数に必要な定量的境界は何か？

主な発見

• 有界領域$D \subset \mathbb{C}^2$から領域$G^\nu \subset M$への微分同相写像列$f^\nu$が、$\|J_\nu - J\|_{\mathcal{C}^2(\bar{U})} \to 0$および$f^\nu(x^0) \to p$を満たすならば、$D$は単位球面$\mathbb{B}_2$とbiholomorphicである。
• $D$が$\mathbb{B}_2$とbiholomorphicでない場合、構造$J_\nu$が$J$に$\mathcal{C}^2$で収束するならば、列$(f^\nu)$はコンパクト開位相で相対的にコンパクトである。
• $D$が4次元のほぼ複素多様体における厳密に擬凸領域であり、$D$から$\mathbb{B}_2$へのbiholomorphismが存在しない場合、自己同型群$Diff_{(J,J)}(D,D)$はコンパクト開位相でコンパクトである。
• $\|J' - J_{st}\|_{\mathcal{C}^2} \leq \delta_0$を満たす十分に小さい$\delta_0 > 0$に対して、$\mathbb{C}^2$への$J'$-擬補間写像について、定量的$C^1$-境界$\|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^1(K)} \leq C_{K,\delta_0} \|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^0(K)}$が成り立つ。
• スケーリングされた写像$F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$は、コンパクト集合上で一様に極限写像$F$に収束し、これは$(J, J_{st})$-正則で、その像へのbiholomorphismである。
• 逆写像列$((F^\nu)^{-1})$はコンパクト部分集合上で等連続であり、Ascoliの定理により極限写像$\tilde{F}$を抽出できる。単位球面へのbiholomorphismが存在する場合、これは矛盾を引き起こす。