[論文レビュー] Words and Transcendence

Michel Waldschmidt|ArXiv.org|Aug 27, 2009

semigroups and automata theory参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数的数が任意の基数 $g \geq 2$ における展開によって超越数と区別可能かどうかを調査しており、Borelの予想（すべての無理数代数的数は任意の基数 $g \geq 2$ で正規である）に焦点を当てる。Schmidtの部分空間定理やディオファントス近似の手法を用いた理論的進展にもかかわらず、$g \geq 3$ に対して、ある特定の数字が無限回現れるような代数的数の明示的例はまだ知られておらず、予想と証明の間には大きなギャップが存在している。

ABSTRACT

Is it possible to distinguish algebraic from transcendental real numbers by considering the $b$-ary expansion in some base $b\ge2$? In 1950, É. Borel suggested that the answer is no and that for any real irrational algebraic number $x$ and for any base $g\ge2$, the $g$-ary expansion of $x$ should satisfy some of the laws that are shared by almost all numbers. There is no explicitly known example of a triple $(g,a,x)$, where $g\ge3$ is an integer, $a$ a digit in $\{0,...,g-1\}$ and $x$ a real irrational algebraic number, for which one can claim that the digit $a$ occurs infinitely often in the $g$-ary expansion of $x$. However, some progress has been made recently, thanks mainly to clever use of Schmidt's subspace theorem. We review some of these results.

研究の動機と目的

• $g \geq 3$ に対して、無理数代数的数がその基数 $g$ 展開によって超越数と区別可能かどうかを調査すること。
• 1950年に提唱されたBorelの予想（すべての無理数代数的数は任意の基数 $g \geq 2$ で正規である）の妥当性を評価すること。
• 代数的数における桁の周波数や出現パターンを証明する際の、現在の理論的および計算的限界を特定すること。
• 代数的数の $g$-進展開の構造を理解するために、Schmidtの部分空間定理およびディオファントス近似技法の最近の進展を調査すること。

提案手法

• Borelの正規数理論とLebesgue測度を用いて、実数の $g$-進展開の典型的挙動を定義する。
• Schmidtの部分空間定理を適用し、代数的数における桁分布に制約を導出する。
• 同時近似およびMahlerの凸体を含むディオファントス近似技法を用い、連分数展開と近似指数を研究する。
• Sturmianおよび自動列（特にFibonacci語およびThue-Morse語）を検討し、特定の近似性質を有する超越数の構成または分析を行う。
• Champernowne数やCopeland-Erdős数などの正規数の構成をレビューし、代数的数と対比する。
• Roy, Bugeaud, Fischler, Adamczewskiの研究結果を評価し、連分数およびモーフィズム列を用いた数の近似とその平方の近似を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無理数代数的数 $x$ に対して、$g \geq 3$ のとき、$\{0, \dots, g-1\}$ に属する桁 $a$ が、$x$ の $g$-進展開で無限回現れることが証明可能だろうか？
• RQ2 3次以上の代数的数が、自己写像によって生成される連分数展開をもつことは可能だろうか？
• RQ3 すべての代数的数は、その2進展開に任意に大きな回文や平方を含むだろうか？
• RQ4 正規性を示す基数 $g$ に対して、$1/x$ が同じ基数で正規でないような正の実数 $x$ の明示的例が存在するだろうか？
• RQ5 非最終的に周期的でない2進列 $(e_n)$ に対して、$\sum_{n \geq 1} e_n 2^{-n}$ または $\sum_{n \geq 1} e_n 3^{-n}$ の少なくとも1つが超越数であるだろうか？

主な発見

• $g \geq 3$, $a \in \{0, \dots, g-1\}$, および無理数代数的数 $x$ に対して、桁 $a$ が $x$ の $g$-進展開で無限回現れるような明示的例は、まだ存在しない。
• 任意の $g \geq 2$ および $k \geq 1$ に対して、$g$-進展開においてすべての $k$ 桁の列が無限回現れるような実代数的数が存在するが、これらの構成は代数的性質と強く結びついていない。
• Mahlerは、任意の無理数実数 $\alpha$ および任意の $k$ 桁の列に対して、整数 $m \leq g^{2k+1}$ が存在し、$m\alpha$ がその列を無限回含むことを証明した。この上限は、BerendとBoshernitzanにより $2g^{k+1}$ に改善された。
• Royの2003年の定理は、Fibonacci語から導かれる特定の連分数が、異常に優れた同時近似性質を持つことを示し、それによって超越性が示唆されることを示している。
• 互いに素な $a, g > 1$ に対して、$\sum_{n \geq 0} a^{-n} g^{-a^n}$ は基数 $g$ で正規である。これは正規数の明示的構成を提供する。
• 自動数の逆数が自動数でないことがあることが[45]で示され、[15]の質問に対して否定的な答えを与えた。