[論文レビュー] XI Solomon Lefschetz Memorial Lecture Series: Hodge structures in non-commutative geometry. (Notes by Ernesto Lupercio)

Maxim Kontsevich|ArXiv.org|Jan 30, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、変形量子化および導来代数幾学におけるホッジ構造の非可換一般化を、ホッジ・ホモロジーとコンネスのB作用素を用いて提示する。正標数におけるスペクトル系列の退化は、微分 $ \partial + uB $ を持つ複体のコホモロジーを通じて理解可能であると提案し、ホッジからデ・ラームへの退化のメカニズムを提示するとともに、非可換幾何学とL関数、ワイエル予想とを結びつける。

ABSTRACT

Traditionally, Hodge structures are associated with complex projective varieties. In my expository lectures I discussed a non-commutative generalization of Hodge structures in deformation quantization and in derived algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な代数的多様体のコホモロジーに定義される古典的ホッジ構造を、非可換幾何の分野へ一般化すること。
• ホッジ・ホモロジーとコンネスのB作用素が、微分形式およびデ・ラーム複体の非可換類似物としてどのように機能するかを検討すること。
• 変形複体 $ \partial + uB $ を持つ複体を用いて、正標数におけるホッジからデ・ラームへのスペクトル系列の退化を調査すること。
• ワイエル予想およびベイリンソンの予想にインspiredされた、飽和的非可換空間に対して非可換L関数を提案すること。
• L関数およびDブレーンに類似した和を通じて、非可換幾何学、算術幾何学、トポロジカル弦理論の間の概念的ブリッジを確立すること。

提案手法

• 複素数体 $ \mathbb{C} $ 上の単位的結合代数 $ A $ のホッジ・ホモロジー複体 $ C_{\bullet}(A,A) $ とその微分 $ \partial $ を用い、非可換微分形式をモデル化する。
• ホッジ・ホモロジー複体上に、次数 $-1$ のコンネスのB作用素を導入し、$ B^2 = 0 $、$ \partial B + B\partial = 0 $、$ \partial^2 = 0 $ を満たす。これにより混合複体が形成される。
• すべての因子のうち最初の因子を除きスカラーで剰余する、縮約されたホッジ・ホモロジー複体 $ C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A,A) $ を考える。この構成はコホモロジーを保存する。
• 複体 $ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A,A)[u], \partial + uB) $ を $ \mathbb{A}^1 $ 上のファミリーとして扱い、$ u $ を形式的パラメータとする。
• この複体の正標数におけるコホモロジーを解析し、それがコherent層である可能性を示唆し、$ \mathbb{Z}_p $ 上の平坦なdgaに対して、$ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A_0,A_0)[u,u^{-1}], \partial) $ に擬同型であると予想する。
• 非可換L関数を $ L(X) = \prod_p L_p(s) $、$ L_p(s) = \det(1 - \mathrm{Fr}_p / p^s)^{-1} $ で定義し、K理論およびリーマン予想と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ構造は、ホッジ・ホモロジーとコンネスのB作用素を用いて、可換代数的多様体を超えて非可換代数へ一般化可能か？
• RQ2 複素混合複体 $ (\partial + uB) $ が $ C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A,A)[u] $ 上に作用するとき、正標数においてスペクトル系列が退化するか？ もし退化するならば、その理由は何か？
• RQ3 正標数における $ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A,A)[u], \partial + uB) $ のコホモロジーは、コherent層か？ そしてこれはホッジからデ・ラームへの退化に何を意味するか？
• RQ4 飽和的非可換空間に対して非可換L関数を定義可能か？ また、リーマン予想およびベイリンソンの予想を満たすか？
• RQ5 正標数において、$ \partial + B $ の振る舞いを理解する上での、縮約されたホッジ・ホモロジー複体上のフィルトレーション $ \mathrm{Fil}_{\leq n} $ の役割は何か？ 特に $ n $ が $ p $ で割り切れるとき。

主な発見

• 正標数 $ p > 0 $ において、複体 $ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A_0,A_0)[u,u^{-1}], \partial + uB) $ が $ \mathbb{Z}/p[u,u^{-1}] $-加群として $ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A_0,A_0)[u,u^{-1}], \partial) $ に擬同型であると予想され、スペクトル系列の退化のメカニズムを示唆する。
• $ p $ と互いに素な $ n $ に対して、微分 $ \partial + B $ を持つ $ \mathrm{gr}_n(\mathrm{Fil}) $ の各成分数は正標数で正則である。これは、その次数におけるコホモロジーが消えることを意味する。
• $ n = kp $ のとき、$ \mathrm{gr}_n(\mathrm{Fil}) $ は $ V^{\otimes k} \xrightarrow{1 - \sigma} V^{\otimes k} $ に同型となり、$ \sigma $ が $ \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} $ を生成する。これは、非自明なコホモロジーが存在する可能性を示唆する。
• 正標数0において、複体 $ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A,A)[u,u^{-1}], \partial + uB) $ は正則である。つまり、すべてのコホモロジーが $ u = 0 $ に集中し、無限大のジョルダンブロックを形成する。これは特異的でベクトル束ではない構造を示唆する。
• 正標数 $ p $ において、$ (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A_0,A_0)[u,u^{-1}], \partial + uB) \simeq (C^{\mathrm{red}}_{\bullet}(A_0,A_0)[u,u^{-1}], \partial) $ であるという予想が、コホモロジーが有限次元であれば、スペクトル系列の退化を示唆する。
• 非可換L関数 $ L(X) = \prod_p L_p(s) $ が提案され、$ L_p(s) = \det(1 - \mathrm{Fr}_p / p^s)^{-1} $ である。この関数は $ K_{1-2s}(X) $ との関連を通じて、リーマン予想およびベイリンソンの予想を満たすと予想される。