[論文レビュー] Fukaya categories and deformations

Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 89

ひとこと要約

本稿は、特異的でない超平面切断 $D$ を持つカルラヤ・プロジェクト型多様体 $X$ のフォーカーイカテゴリ $\mathcal{F}(X)$ とそのアフィン開部分集合 $M = X \setminus D$ のフォーカーイカテゴリ $\mathcal{F}(M)$ を結びつける、変形理論的枠組みを提案する。$D$ との交差数を符号化する形式的パラメータ $t$ を用いて $\mathcal{F}(M)$ を変形することで、新たな $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{F}(M \subset X)$ が得られ、これは $\mathcal{F}(M)$ と $\mathcal{F}(X)$ の間を補間する。また、一般ファイバーの導来カテゴリが $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ に同値であると予想される。主な貢献は、有限性および分裂生成の仮定の下で、$\mathcal{F}(M)$ の変形により $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ を計算する戦略を提示することにある。

ABSTRACT

This is an informal (and mostly conjectural) discussion of some aspects of Fukaya categories. We start by looking at exact symplectic manifolds which are obtained from a closed Calabi-Yau by removing a hyperplane section. We look at the possible geometric significance of Hochschild cohomology in this situation, and how one can try to get from the Fukaya category of the exact manifold to that of the closed Calabi-Yau. Also included is a brief discussion of the role of Lefschetz pencils, and a bit of general deformation theory. To appear in the Proceedings of the Beijing ICM.

研究の動機と目的

• カルラヤ・プロジェクト型多様体 $X$ の導来フォーカーイカテゴリ $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ を計算するための変形理論的手法を開発すること。
• アフィン開部分集合 $M = X \setminus D$ のフォーカーイカテゴリを、$\mathbb{Q}[[t]]$ 上の $A_\infty$-変形によって $X$ 全体のフォーカーイカテゴリと関連付けること。
• この変形の一般ファイバーがパラメータ再パarametrization を除いて $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ を回復することを予想すること。
• 変形空間 $\mathcal{F}(M)$ が有限次元である条件を確立し、計算可能性を保証すること。

提案手法

• アフィン多様体 $M = X \setminus D$ の有限次元不変量としてシンプレクティックコホモロジー $SH^*(M)$ を用い、ボット・モースのスペクトル系列を用いてそのコホモロジーを計算すること。
• 形式的パラメータ $t$ を導入し、$t^k$ 項に $D$ との交わりの重複度 $k$ を追跡するように、フォーカーイカテゴリ $\mathcal{F}(M)$ の変形を構成すること。
• $\mathbb{Q}[[t]]$ 上の $\mathcal{F}(M)$ の変形として $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{F}(M \subset X)$ を定義し、合成写像が $X$ 内のホロモーフィック多角形と $D$ との交わりを符号化すること。
• Hochschildコホモロジー $HH^*(\mathcal{F}(M), \mathcal{F}(M))$ を用いて $A_\infty$-変形を分類し、有限次元性がパラメータ再パラメータ化を除く一意性を示すこと。
• スペクトル系列 (1) を用いて $\dim SH^2(M) \leq b_2(X)$ を示し、変形空間の有限次元性を確立すること。
• 一般ファイバー $\mathcal{F}(M \subset X)_{\text{gen}}$ の導来カテゴリがノビコフ環 $\Lambda_t$ とテンソル積を取ったものが $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ に同値であると予想すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ・プロジェクト型多様体 $X$ の導来フォーカーイカテゴリ $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ は、そのアフィン開部分集合 $M = X \setminus D$ のフォーカーイカテゴリの変形によって計算可能か？
• RQ2 Hochschildコホモロジー $HH^2(\mathcal{F}(M), \mathcal{F}(M))$ が有限次元である条件は何か？ これは $A_\infty$-変形の一意性を保証する。
• RQ3 変形 $\mathcal{F}(M \subset X)$ の一般ファイバーの導来カテゴリと $D^\pi(\mathcal{F}(X))$ の間に、自然な同値が存在するか？
• RQ4 シンプレクティックコホモロジー $SH^*(M)$ は、$X$ 及びその除数 $D$ の幾何にどのように関係するか？ 特にスペクトル系列およびベッチ数の観点から。
• RQ5 ホロモーフィック多角形が $D$ と交わる様子を用いて、変形 $\mathcal{F}(M \subset X)$ を明示的に構成可能か？ また、これは $\mathcal{F}(M)$ と $\mathcal{F}(X)$ の間を補間するか？

主な発見

• 次を仮定する：$\dim_{\mathbb{C}}(X) > 2$。このとき、アフィン多様体 $M = X \setminus D$ のシンプレクティックコホモロジー $SH^*(M)$ は有限次元であり、$\dim SH^2(M) \leq b_2(X)$ が成り立つ。
• ボット・モースのスペクトル系列により $SH^*(M)$ が計算可能であり、$E_1^{pq}$ 項は $p=0$ のとき $H^q(M)$、$p<0$ のとき $H^{q+3p}(\partial M)$ で与えられる。これは計算のための有効な道具である。
• $\mathbb{Q}[[t]]$ 上の $\mathcal{F}(M)$ の $A_\infty$-変形 $\mathcal{F}(M \subset X)$ は、$X$ 内のホロモーフィック多角形が $D$ と重複度 $k$ で交わる場合、合成写像の $t^k$ 係数にその情報を符号化することで構成される。
• もし $HH^2(\mathcal{F}(M), \mathcal{F}(M)) \cong \mathbb{Q}$ であれば、任意の非自明な $A_\infty$-変形はパラメータ $t$ の再パラメータ化を除いて一意であり、これは一様な変形空間が1次元であることを示唆する。
• 予想5では、$D^\pi(\mathcal{F}(M \subset X)_{\text{gen}} \otimes_{\mathbb{Q}[t^{-1}][[t]]} \Lambda_t) \cong D^\pi(\mathcal{F}(X))$ という自然な同値が成り立つと述べており、$D^\pi(\mathcal{F}(X))$ が変形の一般ファイバーから回復可能であると示唆している。
• $X \subset \mathbb{CP}^{n+1}$ を次数 $n+2$ の超曲面とし、$n \geq 3$ とする。このとき、$D^\pi(\mathcal{F}(M))$ は有限個の対象によって分裂生成され、有限性仮定の下で $Tw^\pi(\mathcal{F}(M))$ は計算可能である。