[論文レビュー] Yamamoto's interpolation of finite multiple zeta and zeta-star values

Hideki Murahara, Masataka Ono|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2019

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ひとこと要約

本稿では、パラメータ $ t $ を用いた多項式補間により、有限多重ゼータ値およびゼータスターバリエーションの補間を導入し、山本の補間多重ゼータ値を有限型設定に拡張する。$ \mathcal{A} $-および $ \mathcal{S} $-型の有限多重ゼータ値に対して、循環和公式、Bowman–Bradley型公式、重み付き和公式、調和的、シャッフル的、双対性、および微分関係といった主要な代数的関係を確立し、これらが両者に対して成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We study a polynomial interpolation of finite multiple zeta and zeta-star values with variable $t$, which is an analogue of interpolated multiple zeta values introduced by Yamamoto. We introduce several relations among them and, in particular, prove the cyclic sum formula, the Bowman-Bradley type formula, and the weighted sum formula. The harmonic relation, the shuffle relation, the duality relation, and the derivation relation are also presented.

研究の動機と目的

• 山本の補間多重ゼータ値を、$ \mathcal{A} $-および $ \mathcal{S} $-有限多重ゼータおよびゼータスターバリエーションの $ t $-多項式補間を用いて、有限型設定に拡張すること。
• 補間された有限ゼータ値フレームワーク内において、循環和、重み付き和、Bowman–Bradley型公式といった代数的関係を確立すること。
• 調和的、シャッフル的、双対性、微分関係といった古典的関係を、$ t $-補間有限ゼータ値設定に一般化すること。
• 有限ゼータ値の双対性および微分関係が $ t $-補間のもとで保存されることを証明し、既知の結果を多項式設定に拡張すること。

提案手法

• すべてのインデックス $ \mathbf{p} $ が $ k_1,\dots,k_r $ の間にコロンまたはプラス記号を挿入して得られるものとして、$ \zeta^{t}_{\mathcal{F}}(k_1,\dots,k_r) = \sum_{\mathbf{p}} \zeta_{\mathcal{F}}(\mathbf{p}) t^{r - \operatorname{dep}(\mathbf{p})} $ を定義する。これは $ t=0 $ および $ t=1 $ でそれぞれ $ \zeta $ および $ \zeta^\star $ を一般化する。
• $ \mathcal{F} $-値をとる $ t $-補間写像 $ Z^t_{\mathcal{F}} = Z_{\mathcal{F}} \circ S_t $ を用いる。ここで $ S_t $ は非可換多項式上のシフト作用素である。
• 循環和公式を証明するには、$ S_t $-歪み付き微分構造を用いて、$ k_r \geq 2 $ を満たすインデックス $ \mathbf{k} $ に対して $ \sum_{i=1}^r \zeta^t_{\mathcal{F}}(\sigma^i(\mathbf{k})) = 0 $ を示す。
• 双対性関係を、恒等式 $ \phi^t = -S_{-t} \circ \phi \circ S_t $ を用いて確立する。これにより $ \phi^t $ が $ t $-変形のもとで双対性を保存することが示される。
• 微分関係を証明するには、$ w \in y\mathfrak{H}_t x $ に対して $ Z^t_{\mathcal{F}}(R^{-1}_x \partial^t_l(w)) = 0 $ を示す。これには $ \widetilde{S}_t $-微分構造と、$ Z_{\mathcal{F}} $ における既知の微分関係を用いる。
• 微分関係を $ l=1 $ に適用することで、インデックスのシフトと連結を含む $ t $-依存の恒等式を導出し、ホフマンの関係を $ t $-FMZV に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 山本の多重ゼータ値の補間を、$ \mathcal{A} $-および $ \mathcal{S} $-有限多重ゼータ値を用いて有限型設定に拡張できるか？
• RQ2 古典的代数的関係（循環和、重み付き和、Bowman–Bradley型公式）は、$ t $-補間有限ゼータ値に対しても成り立つか？
• RQ3 $ \mathcal{A} $-および $ \mathcal{S} $-有限ゼータ値に対して、双対性関係は $ t $-補間のもとで保存されるか？
• RQ4 有限ゼータ値の微分関係は $ t $-補間設定に一般化可能か？その形態はいかなるものか？
• RQ5 多重ゼータ値のホフマンの関係は、$ t $-補間有限ゼータ値フレームワークに拡張可能か？

主な発見

• 循環和公式は $ t $-補間有限多重ゼータ値に対しても成り立つ：任意の $ k_r \geq 2 $ を満たすインデックス $ \mathbf{k} $ に対して $ \sum_{i=1}^r \zeta^t_{\mathcal{F}}(\sigma^i(\mathbf{k})) = 0 $。
• 重み付き和公式は $ t $-補間設定に一般化され、インデックスの置換に関する重み付き和の構造が保存される。
• $ \mathcal{F} $-有限ゼータ値の双対性関係は、恒等式 $ \phi^t = -S_{-t} \circ \phi \circ S_t $ を用いて $ t $-補間ケースに拡張され、$ \phi^t $ が双対性を保存することが示される。
• $ t $-補間有限ゼータ値の微分関係は確立された：すべての $ w \in y\mathfrak{H}_t x $ に対して $ Z^t_{\mathcal{F}}(R^{-1}_x \partial^t_l(w)) = 0 $。これは古典的微分関係を一般化する。
• ホフマンの関係は $ t $-補間有限ゼータ値に拡張され、インデックスのシフトと連結を含む $ t $-依存の恒等式が得られる：$ \sum_{i=1}^r (1 + (k_i + \delta_{i,1} - 2)t) \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+1,\dots) = \sum_{i,j} \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+1-j,j,\dots) + t(1-t)\sum \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+k_{i+1}+1,\dots) $。
• $ t $-補間 $ \mathcal{A} $-および $ \mathcal{S} $-有限ゼータ値は、調和的、シャッフル的、微分関係を満たす。微分関係は $ \widetilde{S}_t $-歪み付き微分構造と既知の $ Z_{\mathcal{F}} $-微分関係結果を用いて証明される。