[論文レビュー] On variants of symmetric multiple zeta-star values and the cyclic sum formula

Minoru Hirose, Hideki Murahara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、調和、シャッフル、および Kaneko-Yamamoto 型正則化を用いて、$t$-adic 対称多重ゼータスター値（SMZSV）の3つの変種を導入し、それらが $\theta(2)\cal{Z}[[t]]$ を法として等価であることを証明する。また、$t$-adic SMZSV に対して巡回和公式を確立し、$t$-adic と古典的巡回和公式の間の新しい関係を介して、古典的巡回和公式を $t$-adic 形式へと拡張する。

ABSTRACT

The $t$-adic symmetric multiple zeta values were defined Jarossay, which have been studied as a real analogue of $\boldsymbol{p}$-adic finite multiple zeta values. In this paper, we consider the star analogues based on several regularization processes of multiple zeta-star values: harmonic regularization, shuffle regularization, and Kaneko-Yamamoto's type regularization. We also present the cyclic sum formula for $t$-adic symmetric multiple zeta(-star) values, which is the counterpart of that for $\boldsymbol{p}$-adic finite multiple zeta(-star) values obtained by Kawasaki. The proof uses our new relationship that connects the cyclic sum formula for $t$-adic symmetric multiple zeta-star values and that for the multiple zeta-star values.

研究の動機と目的

• 調和、シャッフル、Kaneko-Yamamoto 型正則化を用いて、$t$-adic 対称多重ゼータスター値の3つの変種を定義・研究すること。
• $t$-adic SMZSV の3つの変種が $\theta(2)\bcal{Z}[[t]]$ を法として等価であることを確立すること。
• $t$-adic 対称多重ゼータスター値に対して、古典的多重ゼータスター値の巡回和公式に類似した巡回和公式を定式化・証明すること。
• $t$-adic SMZSV の巡回和公式と古典的 MZSV のそれとの構造的関係を、新たな接続恒等式を通じて明確にすること。

提案手法

• $t$-adic 対称多重ゼータスター値を、$t$-累乗を含むインデックス切断和と二項係数を含む母関数のアプローチで定義する。
• 調和（$*$）、シャッフル（$\bcal{sh}$）、Kaneko-Yamamoto（KY）の3つの正則化スキームを用いて、$\bcal{Z}[[t]]$ 内の異なる $t$-adic SMZSV を定義する。
• $\theta(2)\bcal{Z}[[t]]$ を法として、シャッフル正則化と KY 正則化の $t$-adic SMZSV の間の合同関係を確立し、商環内での等価性を示す。
• $t$-adic SMZSV の巡回和公式と古典的 MZSV のそれとの間を結ぶ新しい恒等式を導入し、主な巡回和公式の証明を可能にする。
• インデックスの巡回シフトに関する組合せ的恒等式および混合コンマ＋分解に関する符号付き和を用いて、巡回和公式を検証する。
• 帰納法とインデックスの構造的分解を用いて、巡回和公式を古典的設定における既知の恒等式へと還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和、シャッフル、Kaneko-Yamamoto の3つの正則化スキームは、どのように異なる $t$-adic 対称多重ゼータスター値を生成し、適切な商環において等価となるのか？
• RQ2 $t$-adic 対称多重ゼータスター値に対して、古典的多重ゼータスター値の巡回和公式に類似した巡回和公式を定式化・証明できるか？
• RQ3 $t$-adic SMZSV の巡回和公式と古典的 MZSV のそれとの間の正確な関係は何か？
• RQ4 $t$-adic SMZSV は、$t \to 0$ の極限で古典的恒等式に還元される巡回和恒等式を満たすか？
• RQ5 $t$-adic フレームワークは、正則化を介して対称多重ゼータ値を統一的に扱うのにどのように寄与するか？

主な発見

• $\theta(2)\bcal{Z}[[t]]$ を法として、シャッフル正則化と Kaneko-Yamamoto 正則化の $t$-adic SMZSV は合同であり、商環内での等価性が確立される。
• $t$-adic SMZSV の3つの変種（調和、シャッフル、KY）はすべて $\theta(2)\bcal{Z}[[t]]$ を法として等価であり、それらの還元を一様な記号 $\theta^{\text{--}}_{\text{--}}_{\text{--}}(\boldsymbol{k})$ で表すことができる。
• $t$-adic SMZSV の巡回和公式が恒等的に消えることが証明され、古典的巡回和公式が $t$-adic 形式へと一般化される。
• 証明は、$t$-adic SMZSV の巡回和公式と古典的 MZSV のそれとの間を結ぶ新しい恒等式に依存しており、巡回シフトおよびインデックス分解による分解を通じて実現される。
• $t$-adic SMZSV の巡回和公式は、符号付き項を含む巡回シフトおよびインデックス分解の和として表現され、$t \to 0$ の極限で古典的構造と一致する。
• $t$-adic SMZSV の巡回和公式の消滅は、新しい接続恒等式を介して、古典的巡回和公式の既知の消滅に還元されることにより確立される。