[論文レビュー] Yang-Baxter basis of Hecke algebra and Casselman's problem (extended abstract)

Maki Nakasuji, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、タイプAヘッケ代数のYang-Baxter基底をすべてのリー型に一般化し、双対性を確立することで、p進群の主系列表現におけるIwahori固定ベクトルに関するCasselmanの問題を解決する。主な貢献は、Yang-Baxter基底と標準基底の間の移行係数の閉形式の公式を導出し、Whittaker関数の明示的計算とBump-Nakasuji枠組みにおける移行係数に関する予想の解決を可能にする。

ABSTRACT

We generalize the definition of Yang-Baxter basis of type $A$ Hecke algebra introduced by A.Lascoux, B.Leclerc and J.Y.Thibon (Letters in Math. Phys., 40 (1997), 75--90) to all the Lie types and prove their duality. As an application we give a solution to Casselman's problem on Iwahori fixed vectors of principal series representation of $p$-adic groups.

研究の動機と目的

• 根系とWeyl群のデータを用いて、タイプAから任意のリー型へのYang-Baxter基底構成を拡張すること。
• 一般ヘッケ代数における標準基底に関して、Yang-Baxter基底の双対性を証明すること。
• p進群の主系列表現におけるIwahori固定ベクトルの基底に関するCasselmanの問題を解くこと。
• 根系データを用いて、Yang-Baxter基底と標準基底の間の移行係数の明示的公式を確立すること。
• Bump-Nakasuji (2011) の予想1.2および1.3（単純連結根系における移行係数の因数分解）を解決すること。

提案手法

• 根系 $ \frak{R} = (\frak{R}, \frak{R}^*, \frak{R}, \frak{R}^*) $ を用いて、重み格子 $ \frak{R} $、コルート $ \frak{R}^* $、Weyl群 $ W $ を用いて、タイプAから任意のリー型へのYang-Baxter基底構成を一般化する。
• $ w = w's_i > w' $ に対して、 $ Y_w = Y_{w'}(h_i + \frac{t_1 + t_2}{w'E(\beta)}) $ で再帰的にYang-Baxter基底 $ Y_w $ を定義し、簡約表現に依存しないことを保証する。ここで $ \beta = s_{i_1}\rho\to s_{i_{j-1}}(\rho_{i_j}) $ である。
• Yang-Baxter基底 $ Y_v $ と標準基底 $ h_w $ の間の移行係数 $ p(w,v) $ および $ \tilde{p}(w,v) $ を導入し、 $ Y_v = \bigsum_{w \neq v} p(w,v) h_w $ および $ h_v = \bigsum_{w \neq v} \tilde{p}(w,v) Y_w $ を満たすように定義する。
• $ t_1 = -q^{-1}, t_2 = 1 $ に特殊化することで、基底をWhittaker関数およびIwahori固定ベクトルと関連付け、Demazure-Lusztig型作用素を用いる。
• 再帰関係と初期条件を用いて、 $ b_{w,v}(\tau) = p(w,v)(\tau)|_{t_1=-q^{-1}, t_2=1} $ が成り立つことを証明し、Reeder (2012) からの既知の公式と一致することを示す。
• 双対性と恒等式 $ \tilde{m}(w,v) = (-1)^{\text{length}} m(vw_0, w w_0) $ を用いて、Bump-Nakasujiの予想1.2と1.3の同値性を確立し、根集合 $ S'(w,v) = S(vw_0, w w_0) $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプAヘッケ代数のYang-Baxter基底をすべてのリー型にどのように一般化できるか？
• RQ2 任意の根系における一般ヘッケ代数において、Yang-Baxter基底と標準基底の間の双対性構造は何か？
• RQ3 Yang-Baxter基底を用いて、p進群の主系列表現におけるIwahori固定ベクトルの基底に関するCasselmanの問題を解くことができるか？
• RQ4 根系データを用いて、移行係数 $ p(w,v) $ および $ \tilde{p}(w,v) $ の明示的公式は何か？
• RQ5 Bump-Nakasujiの予想（単純連結根系における移行係数の因数分解）は成り立つか、成り立つならばどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 任意のWeyl群元 $ w $ に対して、Yang-Baxter基底 $ Y_w $ は簡約表現に依存せず適切に定義され、主項が $ h_w $ であるため、$ Q_{t_1,t_2}(\frak{R}) $-代数としての一般ヘッケ代数の基底をなす。
• 移行係数 $ b_{w,v}(\tau) $ は $ b_{w,v}(\tau) = p(w,v)(\tau)|_{t_1=-q^{-1}, t_2=1} $ を満たし、Reeder (2012) の再帰的関係と初期条件と一致するため、Whittaker関数の公式が証明される。
• $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v} $ の閉形式は $ \bigprod_{\beta \neq R(v)} \frac{1 - q^{-1}e^{\beta}}{1 - e^{\beta}} $ であり、 $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v}(-q^{-1})^{\text{length}(w)} $ は $ \bigprod_{\beta \neq R(v)} \frac{1 - q^{-1}}{1 - e^{\beta}} $ に等しい。
• Bump-Nakasujiの予想（予想1.2および1.3）は双対性により同値であることが示され、 $ \tilde{m}(w,v) = (-1)^{\text{length}(v)-\text{length}(w)} m(vw_0, w w_0) $ が成り立ち、 $ |S(w,v)| = \text{length}(v) - \text{length}(w) $ のとき因数分解が成立する。
• [BN] の公式 $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v} = m(e, v^{-1}) $ が回復され、[BN] の定理1.4の新たな証明が得られる。
• 本論文は、Yang-Baxter関係とDemazure-Lusztig作用素を用いた一様な枠組みを提供し、根系データおよびパrameter $ t_1, t_2 $ を用いて、Iwahori固定ベクトルおよびWhittaker関数を明示的に計算可能にする。