[論文レビュー] Yang-Mills Connections On Orientable and Nonorientable Surfaces

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アティyah-ボットのYang-Mills汎関数に関するモース理論を、可定向および非可定向リーマン面の上での主$SO(n)$、$Sp(n)$、および$SO(2n+1)$-バンドルへ一般化する。ラウモン=ラポポートの手法によるアティヤ-ボット再帰関係の逆転により、正則構造の半安定ストラトムの明示的な有理的等変形ペインカーレ系列が導かれる。これにより、非可定向な曲面上のYang-Mills接続のモジュライ空間に対する完全な位相不変量が得られる。

ABSTRACT

In math.SG/0605587, we studied Yang-Mills functional on the space of connections on a principal G_R-bundle over a closed, connected, nonorientable surface, where G_R is any compact connected Lie group. In this sequel, we generalize the discussion in "The Yang-Mills equations over Riemann surfaces" by Atiyah and Bott, and math.SG/0605587. We obtain explicit descriptions (as representation varieties) of Morse strata of Yang-Mills functional on orientable and nonorientable surfaces for non-unitary classical groups SO(n) and Sp(n). It turns out to be quite different from the unitary case. we use Laumon and Rapoport's method in "The Langlands lemma and the Betti numbers of stacks of G-bundles on a curve" to invert the Atiyah-Bott recursion relation, and write down explicit formulas of rational equivariant Poincaré series of the semistable stratum of the space of holomorphic structures on a principal $SO(n,\bC)$-bundle or a principal $Sp(n,\bC)$-bundle.

研究の動機と目的

• アティヤ-ボットのYang-Mills汎関数のモース理論的考察を非可定向な曲面へ拡張すること。
• 可定向および非可定向なリーマン面の上での$SO(n)$、$Sp(n)$、および$SO(2n+1)$-バンドルに対して、半安定ストラトムの有理的等変形ペインカーレ系列を計算すること。
• 可定向な二重被覆とねじれ表現多様体を用いて、非可定向な曲面に対するアティヤ-ボット再帰関係を一般化すること。
• ラウモン=ラポポートの逆転技法を用いて、ペインカーレ系列の明示的公式を導出すること。
• 等変コホロジー不変量を用いて、Yang-Mills接続のモジュライ空間の完全な位相的記述を確立すること。

提案手法

• 非可定向な曲面からの接続を引き戻すために、可定向な二重被覆$\tilde{\Sigma} \to \Sigma$を用い、等変構造を分析する。
• 主$G_{\mathbb{R}}$-バンドル上の接続空間のアティヤ-ボットのストラチフィケーションを、$SO(n)$、$Sp(n)$、および$SO(2n+1)$群に適用する。
• ラウモン=ラポポートの手法によるアティヤ-ボット再帰関係の逆転を用い、等変ペインカーレ系列の明示的有理生成関数を導出する。
• 非可定向な曲面上のゲージ理論的不変量をモデル化するため、$U(n)$、$SO(n)$、$Sp(n)$のねじれ表現多様体を定義する。
• ウェイルチャネルとパラボリック部分群を用いてストラトムを分類し、根系およびコキャラクター情報に基づいて余次元を計算する。
• 逆転公式（定理A.6）を適用し、半安定ペインカーレ系列$P_t^{ss}(G,\nu_G)$をレヴィ部分群および根系不変量のデータで表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的群$SO(n)$および$Sp(n)$に対して、非可定向な曲面上のYang-Mills汎関数の等変モースストラチフィケーションはどのように振る舞うか？
• RQ2 非可定向な曲面上の正則$SO(n,\mathbb{C})$-および$Sp(n,\mathbb{C})$-バンドルの半安定ストラトムに対する有理的等変ペインカーレ系列の明示的形は何か？
• RQ3 二重被覆とねじれ表現多様体を用いて、非可定向な曲面に対してアティヤ-ボット再帰関係を逆転させることは可能か？
• RQ4 $SO(2n+1)$-バンドルに対して、可定向な曲面と非可定向な曲面におけるYang-Mills接続のモジュライ空間の位相はどのように異なるか？
• RQ5 障害類$o_2(P) \in H^2(\Sigma, \pi_1(G))$は、表現多様体の平坦性および連結性を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 可定向な曲面上の$SO(n,\mathbb{C})$-および$Sp(n,\mathbb{C})$-バンドルに対して、アティヤ-ボット再帰関係のラウモン=ラポポートによる逆転を用いて、有理的等変ペインカーレ系列$P_t^{ss}(G,\nu_G)$が明示的に計算された。
• 非可定向な曲面に対しては、ねじれ表現多様体と二重被覆構成を用いて、半安定ストラトムのペインカーレ系列が導出され、可定向の場合の結果が拡張された。
• 群$G$が単連結であるとき、$P_t^{ss}(G,\nu_G)$は位相的型$\nu_G$に依存しないことが、定理A.8により示された。
• 定理A.9における$P_t^{ss}(G,\nu_G)$の公式は、パラボリック部分群の和として表され、根系データからの$t$のべき乗と$\rho_P^G$-重みを係数に含む。
• ストラトムの余次元は$2\dim(N_P)(g-1) + 4\langle\rho_P^G, \nu_P'\rangle$で与えられ、これがペインカーレ系列における$t$のべき乗を支配する。
• 逆転公式（定理A.6）により、全系列$P_t(G,\nu_G)$から$P_t^{ss}(G,\nu_G)$を再帰的に計算でき、$t$に関する有理関数として閉形式の表現が得られる。