[論文レビュー] Yang's Quantized Space-time Algebra and Holographic Hypothesis

S. Tanaka|ArXiv.org|Mar 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ヤンの量子化された時空代数（YST）およびその修正版（MYST）が、固有値にそれぞれ基本的な最小値 $a$ と $1/R$ を有するローレンツ共変な離散的枠組みとして、時空および運動量演算子を提供することを提案する。YSTとMYSTの背景対称性SO(D+1,1)およびSO(D,2)は、dS/CFTおよびAdS/CFTと一致しており、それらに類似した新しいホログラフィー双対性—dS/YSTおよびAdS/MYST—を示唆し、内在的な離散性によってUV/IR発散を統一的に正則化する可能性を示す。

ABSTRACT

The present-day significance of Yang's quantized space-time algebra (YST) is pointed out from the holographic viewpoint. One finds that the D-dimensional YST and its modified version (MYST) have the background symmetry SO(D+1,1) and SO(D,2), which are well known to underlie the dS/CFT and AdS/CFT correspondences, respectively. This fact suggests a new possibility of dS/YST and AdS/MYST in parallel with dS/CFT and AdS/CFT, respectively. The spatial components of quantized space-time and momentum operators of YST have discrete eigenvalues and their respective minimums, $a$ and 1/R, without contradiction to Lorentz-covariance. With respect to MYST, the spatial components of space-time operators and the time component (energy) of momentum operators have discrete eigenvalues and their respective minimums, $a$ and 1/R, in contrast to YST. This discrete structure of YST and MYST, which CFT lacks entirely, may provide a theoretical ground for the unified regularization or cutoff of ultraviolet and infrared divergences familiar in the UV/IR connection in the holographic hypothesis.

研究の動機と目的

• 標準的な非可換時空（$c$-数の$\theta^{\nu\beta}$を伴う）が非相対論的制限を抱えるのを克服する、ローレンツ共変で離散的な時空枠組みを確立すること。
• YSTおよびMYSTの離散固有値構造（それぞれ最小値 $a$ および $1/R$ を有する）が、UVおよびIR発散の統一的正則化の理論的根拠をどのように提供できるかを調査すること。
• dS/CFTおよびAdS/CFTに対応する既存の双対性に類似した、新しいホログラフィー双対性であるdS/YSTおよびAdS/MYSTを提案すること。
• 共通の対称性SO(D+1,1)およびSO(D,2)を持つにもかかわらず、CFTがYSTおよびMYSTに内在する離散構造を欠いているのはなぜかを明確にすること。
• 一般相対性理論における局所的ローレンツフレームに類似した、(D+2)次元パrameter空間内での背景対称性の遷移（SO(D,2)からSO(D+1,1)への移行）の動的可塑性を探索すること。

提案手法

• SO(D+1,1)代数の次元縮約によりD次元のYSTを導出する。その際、2つの空間的次元を余剰次元として選択する。
• YST生成子を定義する：$X_{\nu} = a\Sigma_{\nu a}$, $P_{\nu} = \frac{1}{R}\Sigma_{\nu b}$, $M_{\mu\nu} = \Sigma_{\mu\nu}$, および $N = \frac{a}{R}\Sigma_{ab}$。ここで $a$ および $R$ は基本定数である。
• YSTの空間的時空および運動量演算子が、それぞれ最小値 $a$ および $1/R$ を有する離散固有値を持つことを示し、ローレンツ共変性を保つ。
• SO(D,2)の次元縮約により修正YST（MYST）を導入する。$X'_{\nu} = a\Sigma'_{\nu a}$, $P'_{\nu} = -i/R\Sigma'_{\nu b}$, および $N' = -ia/R\Sigma'_{ab}$ を定義し、空間的 $X'$ および時間的 $P'_D$（エネルギー）の離散固有値を導出する。
• 線形結合 $\Sigma'_{\mu a}$ および $\Sigma'_{\mu b}$ を用いて、MYSTとD次元の共形代数（$\hat{P}'_{\mu}, \hat{K}'_{\mu}, \hat{M}'_{\mu\nu}, \hat{D}'$）との同型写像を確立し、MYSTとAdS/CFTを結びつける。
• CFTに欠如しているが、YSTおよびMYSTに内在する離散固有値構造が、自然なUV/IRカットオフを提供し、ホログラフィー理論における統一的正則化メカニズムを提供することを提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤンの量子化された時空代数（YST）は、固有値にそれぞれ基本的な最小値 $a$ および $1/R$ を有するローレンツ共変で離散的な時空および運動量演算子の枠組みを提供できるか？
• RQ2 YSTの背景対称性SO(D+1,1)は、dS/CFTに類似した新しいdS/YST双対性を支持するか？
• RQ3 SO(D,2)対称性を有する修正YST（MYST）は、AdS/CFTに類似した新しいAdS/MYST双対性を可能にするか？
• RQ4 共通の対称性を有するにもかかわらず、共形場理論（CFT）がYSTおよびMYSTに内在する離散固有値構造を欠いているのはなぜか？
• RQ5 YSTおよびMYSTにおける時空および運動量演算子の離散固有値が、ホログラフィー理論におけるUVおよびIR発散の統一的正則化メカニズムとして機能できるか？

主な発見

• YSTおよびMYSTの両方とも、空間的成分の時空演算子に対して離散固有値を示し、基本的な最小値 $a$ を有する。ローレンツ共変性は保たれる。
• YSTでは、運動量演算子の空間的成分も離散固有値を有し、最小値 $1/R$ を持つ。一方、MYSTでは、運動量演算子の時間的成分（エネルギー）が離散固有値を有し、最小値 $1/R$ を持つ。
• YSTの背景対称性SO(D+1,1)は、dS/CFTおよび提案されたdS/YST双対性の両方に根拠を提供し、新たなホログラフィー双対性を示唆する。
• MYSTの背景対称性SO(D,2)は、AdS/CFTおよび提案されたAdS/MYST双対性の両方に根拠を提供し、新たなホログラフィー双対性を示唆する。
• CFTとは異なり、YSTおよびMYSTの離散構造は、UVおよびIR発散の両方に対する自然で内在的な正則化を提供し、ホログラフィーにおけるUV/IR接続の統一的メカニズムを可能にする可能性を有する。
• YSTおよびMYSTにおける最小値 $a$ および $1/R$ の存在は、時空および運動量の根本的な格子的構造を示唆し、量子重力における非摂動的正則化の候補となる。