[論文レビュー] The Holographic Bound in Anti-de Sitter Space

Leonard Susskind, Edward Witten|ArXiv.org|May 19, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 558

ひとこと要約

この論文は、AdS空間におけるAdS/CFT双対性の赤外（IR）から紫外（UV）への対応を通じて、ホログラフィック境界—境界上の1プランク面積あたり1ビットに制限される情報量—が物理的に実現されることを確立している。主な洞察は、ボリューム内のIR効果が境界のコンformal field theory（CFT）におけるUV効果に対応することであり、これにより情報境界が自然に実現され、CFTにおける無限大の全面積および全エントロピーにもかかわらず、単位面積あたりのエントロピーが有限であることが説明される。

ABSTRACT

The correspondence between string theory in Anti-de Sitter space and super Yang Mills theory is an example of the Holographic principle according to which a quantum theory with gravity must be describable by a boundary theory. However, arguments given so far are incomplete because, while the bulk theory has been related to a boundary theory, the holographic bound saying that the boundary theory has only one bit of information per Planck area has not been justified. We show here that this bound is the physical interpretation of one of the unusual aspects of the correspondence between Anti-de Sitter space and the boundary conformal field theory, which is that infrared effects in the bulk theory are reflected as ultraviolet effects in the boundary theory.

研究の動機と目的

• 先行研究では厳密に確立されていなかった、AdS/CFT双対性内でのホログラフィック境界—1プランク面積あたりの自由度を1に制限する—の正当化を目的とする。
• 境界CFTとAdS境界の両方が無限大の面積とエントロピーを持つという表面的矛盾を解消するため、IR-UV接続を用いた正則化比較を導入する。
• IR-UV接続が双対性の特徴にとどまらず、ホログラフィック情報境界を物理的に実現するメカニズムであることを示す。
• 重力が存在しないと、エントロピーのスケーリングの不一致により、AdS内の局所的量子場理論が境界CFTと双対になれないことの理由を明らかにする。

提案手法

• ポincare型座標におけるAdS計量を用い、ボリューム時空の幾何学と境界CFTとの関係を分析し、共形対称性の下での距離およびスケールの変換に注目する。
• IR-UV接続を適用：境界CFTの紫外（UV）で発散する摂動は、ボリュームAdS空間の赤外（IR、空間的無限遠）で発散するものに対応する。
• 境界CFTにおける相関関数とそのボリューム超重力双対を分析し、CFTの紫外挙動がボリュームの赤外構造によって支配されることを示す。
• プランクスケールを用いた正則化を導入し、$ R = l_s (g_s N)^{1/4} $ の関係を用いてAdS半径をゲージ群のサイズ$ N $と結びつけることで、エントロピーと面積の有限比較が可能になる。
• 境界CFTにおける体積あたりの自由度の数が$ A / (R l_s^8 g_s^2) $ に比例することを示し、$ R \to \infty $ のときこの量が0に収束することから、ホログラフィックな自由度の減少を示す。
• 高温におけるエントロピーのスケーリングを比較：$ AdS_5 \times S^5 $ 内の局所場では$ T^9 $ に比例するが、境界CFTでは$ T^3 $ に比例するため、ホログラフィック理論の自由度がはるかに少ないことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1プランク面積あたり1ビットに制限されるホログラフィック境界—情報量の制限—を、AdS空間で物理的に正当化する方法は何か？
• RQ2 共形的であり、すべてのスケールに自由度を持つ境界CFTであっても、なぜ面積あたりの情報密度が有限なのであろうか？
• RQ3 AdS/CFTにおけるIR-UV接続の物理的起源は何か？ そして、それがホログラフィック情報境界をどのように実現するのか？
• RQ4 相関関数が一致するとしても、重力を持たない局所的場理論が境界CFTと双対になれないのはなぜか？
• RQ5 負の宇宙定数を持つ理論に対して、ホログラフィー原理を明確な双対性に明確化できるか？ 重力はこのプロセスにおいてどのような役割を果たすのか？

主な発見

• AdS/CFTにおけるIR-UV接続は、境界上に1プランク面積あたり1ビットの情報量が物理的に実現されるメカニズムであり、ホログラフィック境界を保証する。
• 無限大の全面積および全エントロピーにもかかわらず、境界CFTの情報密度が有限であるのは、CFTにおけるUV発散がボリュームにおけるIR発散に対応し、その幾何学的正則化によって制御されるためである。
• 境界CFTにおける体積あたりの自由度の数は$ A / (R l_s^8 g_s^2) $ に比例し、$ R \to \infty $ のとき0に収束するため、局所的場理論と比べて自由度が著しく減少することが示される。
• 境界CFTにおける高温エントロピーは$ T^3 $ に比例するが、局所的ボリューム場理論では$ AdS_5 \times S^5 $ において$ T^9 $ に比例するため、ホログラフィック理論の自由度がはるかに少ないことが確認される。
• ボリュームの重力理論と境界CFTの双対性は、ボリューム理論に重力が存在する場合にのみ一貫性を持つ。重力を持たない局所的場理論では、エントロピーのスケーリングが一致しないためである。
• 相関関数のマッピングを越えて、IR-UV接続が情報境界を満たす物理的双対性を保証する、完全な物理的双対性である。