[論文レビュー] Yangian actions on higher level irreducible modules of affine gl(N)

Denis Uglov|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1998

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ドリンフェルト双対性と退化した二重アフィンヘッケ代数（H）表現からの半無限極限を用いて、整数レベル >1 のアフィン gl(N) の既約最高ウェイト加群への gl(N) のヤンギアン作用を構成する。真空加群は、半無限のねじれヤング図式によってパラメータ付けられる既約ヤンギアン部分加群に分解され、H-インターツェプタを用いたこの加群の新たな実現が得られる。

ABSTRACT

An action of the Yangian of the general Lie algebra gl(N) is defined on every irreducible highest weight module of affine gl(N) with integer level greater than 1. This action is derived, by means of the Drinfeld duality and a subsequent semi-infinite limit, from a certain induced representation of the degenerate double affine Hecke algebra H. Each vacuum module of affine gl(N) is decomposed into irreducible Yangian subrepresentations by means of the intertwiners of H. Components of this decomposition are parameterized by semi-infinite skew Young diagrams.

研究の動機と目的

• 整数レベルが 1 より大きいアフィン gl(N) の既約最高ウェイト加群への gl(N) のヤンギアン作用を定義すること。
• 退化した二重アフィンヘッケ代数 H とアフィン gl(N) の表現理論との間の関係を、半無限極限の構成によって確立すること。
• H からのインターツェプタを用いて、アフィン gl(N) の真空加群を既約ヤンギアン部分加群に分解すること。
• この分解の成分を半無限のねじれヤング図式によってパラメータ付けすること。
• ヤンギアン対称性と組合せ的添え字を用いて、高レベルのアフィン gl(N) 表現を理解するための新たな代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 退化した二重アフィンヘッケ代数 H の誘導表現から出発する。
• ドリンフェルト双対性を用いて、H-表現と gl(N) のヤンギアン表現との関係を確立する。
• 半無限極限を取ることで、H-表現からアフィン gl(N) の設定へと降下する。
• H のインターツェプタを用いて、アフィン gl(N) の真空加群を既約ヤンギアン部分加群に分解する。
• 得られる分解は、成分を分類する半無限のねじれヤング図式によって添え字づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gl(N) のヤンギアンは、レベル >1 のアフィン gl(N) の既約最高ウェイト加群への作用としてどのように実現できるか？
• RQ2 退化した二重アフィンヘッケ代数 H は、このヤンギアン作用を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 H のインターツェプタは、真空加群を既約ヤンギアン部分加群に分解するためにどのように機能するか？
• RQ4 この分解の成分をパラメータづける組合せ的構造は何か？
• RQ5 半無限極限の構成は、H-表現とアフィン gl(N) 加群との間をどのようにつなぐか？

主な発見

• gl(N) のヤンギアンは、整数レベルが 1 より大きいアフィン gl(N) のすべての既約最高ウェイト加群に作用する。
• この作用は、ドリンフェルト双対性と退化した二重アフィンヘッケ代数 H の表現からの半無限極限を用いて構成される。
• アフィン gl(N) の真空加群は、H-インターツェプタを用いて既約ヤンギアン部分加群に分解される。
• この分解の成分は、半無限のねじれヤング図式によって分類される。
• この構成は、ヤンギアン対称性と組合せ的添え字を用いて、高レベルのアフィン gl(N) 表現の新たな実現を提供する。