[論文レビュー] Yangian characters and classical W-algebras

Alexander Molev, E. Mukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、タイプB、C、Dの古典的Lie代数に対する、キリロフ＝レシティヒキンモジュールのヤンギアンキャラクターと古典的W代数の生成子の間の明示的対応関係を確立する。ヤンギアンのRTT表示とアフィン・ハリシュ・チャンドラ同型を用いて、qキャラクターの像としてW代数の明示的生成子を構成し、それがスペクトルパラメータにおける階乗対称関数と一致することを示す。主な結果は、シフトされた重みを用いた対称多項式によるW代数生成子の実現である。

ABSTRACT

The Yangian characters (or q-characters) are known to be closely related to the classical W-algebras and to the centers of the affine vertex algebras at the critical level. We make this relationship more explicit by producing families of generators of the W-algebras from the characters of the Kirillov-Reshetikhin modules associated with multiples of the first fundamental weight in types B and D and of the fundamental modules in type C. We also give an independent derivation of the character formulas for these representations in the context of the RTT presentation of the Yangians. In all cases the generators of the W-algebras correspond to the recently constructed elements of the Feigin-Frenkel centers via an affine version of the Harish-Chandra isomorphism.

研究の動機と目的

• ヤンギアンキャラクターと古典的W代数の間の明示的関係を臨界レベルにおいて特定すること。
• キリロフ＝レシティヒキンモジュールのキャラクターを用いて、タイプB、C、Dの古典的W代数の明示的生成子を構成すること。
• ヤンギアンのRTT表示を用いて、これらのモジュールのキャラクターフォーミュラを独立に導出すること。
• アフィン・ハリシュ・チャンドラ同型を介して、W代数の生成子がフェイジン＝フレンケル中心の元に対応することを示すこと。

提案手法

• タイプB、C、Dにおけるキリロフ＝レシティヒキンモジュールのキャラクターフォーミュラを、ヤンギアンのRTT表示を用いて導出する。
• アフィン・ハリシュ・チャンドラ同型を適用し、フェイジン＝フレンケル中心の生成子を古典的W代数の元へ写像する。
• ループ代数内の特定の作用素の対称テンソルのトレースとして、古典的W代数の生成子を構成する。
• これらの生成子の像を、スペクトルパラメータにおける対称多項式、特に階乗完全対称関数および階乗基本対称関数として表現する。
• 階乗対称関数の特徴付け定理を用いて、構成されたW代数の元が既知の対称関数表現と一致することを検証する。
• スクリーニング作用素と臨界レベルにおけるバニシングモジュールの構造を用いて、古典的W代数をU(t⁻¹h[t⁻¹])の部分代数として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キリロフ＝レシティヒキンモジュールのヤンギアンキャラクターは、タイプB、C、Dにおける古典的W代数をどのように生成するか？
• RQ2 アフィン・ハリシュ・チャンドラ同型を介して得られる古典的W代数の生成子の明示的形は何か？
• RQ3 ヤンギアンにおけるカシミール要素のハリシュ・チャンドラ像は、スペクトルパラメータにおける対称関数とどのように関係するか？
• RQ4 タイプCにおける基本的およびキリロフ＝レシティヒキンモジュールのキャラクターフォーミュラは、ヤンギアンのRTT表示を用いて独立に導出可能か？
• RQ5 得られたW代数生成子は、シフトされた重みにおける既知の階乗対称関数と一致するか？

主な発見

• タイプBₙでは、カシミール要素γ₂ₖ(N) tr S⁽²ᵏ⁾(F₁−k)⋯(F₂ₖ+𝑘−1)のハリシュ・チャンドラ像は、添字nを除く部分集合の和として与えられ、(lⱼ₁²−(ⱼ₁−1/2)²)⋯(lⱼₖ²−(ⱼₖ+𝑘−3/2)²)の和∑₁≤ⱼ₁≤⋯≤ⱼₖ≤ₙに一致する。ここでlᵢ=μᵢ+n−i+1/2である。
• タイプDₙでは、同様のカシミール要素の像は、nおよびn′を除く部分集合の和として与えられ、タイプBₙと同一の階乗完全対称関数の式と一致する。
• タイプCₙでは、カシミール要素γ₂ₖ(−2n) tr S⁽²ᵏ⁾(F₁+𝑘)⋯(F₂ₖ−𝑘+1)の像は、{1,…,n,0,n′,…,1′}内の順序付き部分集合の和として与えられ、階乗基本対称関数(−1)ᵏ∑₁≤ⱼ₁<⋯<ⱼₖ≤ₙ (lⱼ₁²−ⱼ₁²)⋯(lⱼₖ²−(ⱼₖ−𝑘+1)²)に等しい。ここでlᵢ=μᵢ+n−i+1である。
• 構成されたW代数生成子は、lᵢ²に関する次数kの対称多項式として示され、最高次項が完全対称関数または基本対称関数と一致する。
• 階乗対称関数の特徴付け定理を用いて、W代数の元が階乗対称関数と一致することを、対称性および部分集合への特殊化による消滅性に依拠して検証した。
• 本結果は、タイプAにおける先行研究をすべての古典的タイプに拡張し、ヤンギアン表現論からW代数生成子を一様に構成する手法を提供する。