[論文レビュー] Yangians and cohomology rings of Laumon spaces

Boris Feigin, Michael Finkelberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、自然な対応を通じて、アフィン・ラウモーン空間の等置換コホモロジーにアフィンヤンギアンの作用を構成し、固定点基底をアフィンゲルファンド＝ツェルミン基底として同定し、$\mathfrak{gl}_n$ のヤンギアンの中心の像としてギーゼッカーモジュライ空間のコホモロジー環がこのコホモロジーに埋め込まれることを示す。ギーゼッカー空間上の行列式ラインバンドの1番目のチャーン類は、アフィンヤンギアンにおける非可換パワー和として実現され、代数幾何学における表現論的構造の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

Laumon moduli spaces are certain smooth closures of the moduli spaces of maps from the projective line to the flag variety of $GL_n$. We construct the action of the Yangian of $sl_n$ in the cohomology of Laumon spaces by certain natural correspondences. We construct the action of the affine Yangian (two-parametric deformation of the universal enveloping algebra of the universal central extension of $sl_n[s^{\pm1},t]$) in the cohomology of the affine version of Laumon spaces. We compute the matrix coefficients of the generators of the affine Yangian in the fixed point basis of cohomology. This basis is an affine analogue of the Gelfand-Tsetlin basis. The affine analogue of the Gelfand-Tsetlin algebra surjects onto the equivariant cohomology rings of the affine Laumon spaces. The cohomology ring of the moduli space $M_{n,d}$ of torsion free sheaves on the plane, of rank $n$ and second Chern class $d$, trivialized at infinity, is naturally embedded into the cohomology ring of certain affine Laumon space. It is the image of the center $Z$ of the Yangian of $gl_n$ naturally embedded into the affine Yangian. In particular, the first Chern class of the determinant line bundle on $M_{n,d}$ is the image of a noncommutative power sum in $Z$.

研究の動機と目的

• アフィン・ラウモーン空間の等置換コホモロジーに、自然な対応を用いてアフィンヤンギアンの作用を構成すること。
• 固定点コホモロジーにおけるアフィン・ゲルファンド＝ツェルミン基底のアフィン版を定義し、その性質を調べること。
• シートのギーゼッカーモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ のコホモロジー環を、アフィンヤンギアンへの自然な埋め込みを通じて $\mathfrak{gl}_n$ のヤンギアンの中心の像として実現すること。
• アフィンヤンギアン生成子の固定点基底における行列係数を計算し、非可換パワー和と明示的に関係づけること。

提案手法

• クーヴァー多様体のものに類似した自然な対応を用いて、アフィン・ラウモーン空間 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ の局所化された等置換コホモロジーにアフィンヤンギアン $\widehat{Y}$ の作用を構成する。
• アフィン・ラウモーン空間の固定点コホモロジーの基底を、$U(\mathfrak{gl}_n)$ の古典的ゲルファンド＝ツェルミン基底を一般化するアフィンゲルファンド＝ツェルミン基底として同定する。
• $\widehat{Y}$ のドリンフェルト生成子の固定点基底における行列係数を計算し、等置換パラメータと次数を含む有理関数の形で表現する。
• アフィンゲルファンド＝ツェルミン代数が $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ の等置換コホモロジーリングに全射であることを証明し、この可換部分代数の幾何的実現を確立する。
• トーラス等置換写像を介して、ギーゼッカーモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ のコホモロジーリングを $\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$ のコホモロジーに埋め込み、この埋め込みが $Y(\mathfrak{gl}_n)$ の中心から生じることを示す。
• ギーゼッカー空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 上の行列式ラインバンドの1番目のチャーン類を、アフィンヤンギアンにおける非可換パワー和として実現し、固定点における固有値を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然な対応を通じて、アフィンヤンギアンはどのようにアフィン・ラウモーン空間のコホモロジーに作用するか？
• RQ2 アフィン・ラウモーン空間のコホモロジーにおける固定点基底の構造は何か？ また、これは古典的ゲルファンド＝ツェルミン基底をどのように一般化するか？
• RQ3 ギーゼッカーモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ のコホモロジー環は、アフィン・ラウモーン空間のコホモロジーの中でどのように実現されるか？
• RQ4 $\mathfrak{gl}_n$ のヤンギアンの中心は、シートのモジュライ空間上のコホモロジー類として、どのように幾何的意味を持つのか？
• RQ5 アフィンヤンギアンにおける非可換パワー和は、行列式ラインバンドの1番目のチャーン類のような特徴的類とどのように関係するか？

主な発見

• アフィンヤンギアン $\widehat{Y}$ は、自然な対応を用いてアフィン・ラウモーン空間 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ の局所化された等置換コホモロジーに作用し、以前のクーヴァー多様体への作用を一般化する。
• アフィン・ラウモーン空間 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ のコホモロジーの固定点基底は、アフィンゲルファンド＝ツェルミン基底として同定され、ドリンフェルト生成子の行列係数は、等置換パラメータに関する有理関数として明示的に計算されている。
• アフィンゲルファンド＝ツェルミン代数は $\mathcal{P}_{\underline{d}}$ の等置換コホモロジーリングに全射であり、この可換部分代数の幾何的実現が得られる。
• ギーゼッカーモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ のコホモロジーリングは、$\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$ のコホモロジーに、$\mathfrak{gl}_n$ のヤンギアンの中心 $ZY(\mathfrak{gl}_n)$ の像として埋め込まれる。
• ギーゼッカー空間 $\mathfrak{M}_{n,d}$ 上の行列式ラインバンドの1番目のチャーン類は、アフィンヤンギアンにおける非可換パワー和として実現され、固定点における固有値は $\Phi_{n,r}$ と等置換パラメータを含む有理式で与えられる。
• 1番目のチャーン類作用素の固有値は、$\frac{-2\Phi_{n,3}+3(\hbar-\hbar')\Phi_{n,2}-2\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^3-3(\hbar-\hbar')\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^2}{12\hbar\hbar'}+\sum_{j=1}^{n}x_j$ として明示的に計算され、非可換パワー和の幾何的起源が確認される。