[論文レビュー] Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures

Marco Zunino|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Turaev交叉群余代数Hの表現カテゴリの中心、H上のYetter-Drinfeldモジュールのカテゴリ、およびその量子二重D(H)の表現カテゴリの間の圏的同値性を確立し、これらがbraided crossed圏として同型であることを示している。この構成は、Joyal-Streetの中心およびKassel-Turaevの量子二重をTuraev交叉設定に一般化し、T-圏およびT-余代数に基づく統一的な圏的枠組みを通じて、この非自明な群付加テンソル枠組みにbraiding、リボン、モジュラリティ構造を拡張している。

ABSTRACT

We provide an analog of the Joyal-Street center construction and of the Kassel-Turaev categorical quantum double in the context of the crossed categories introduced by Turaev. Then, we focus or attention to the case of categories of representation. In particular, we introduce the notion of a Yetter-Drinfeld module over a crossed group coalgebra H and we prove that both the category of Yetter-Drinfeld modules over H and the center of the category of representations of H as well as the category of representations of the quantum double of H are isomorphic as braided crossed categories.

研究の動機と目的

• Turaevの交叉圏（T-圏）およびT-余代数の文脈において、Joyal-Streetの中心構成およびKassel-Turaevの量子二重を一般化する。
• T-圏設定におけるbraidedおよびリボン構造の圏的枠組みを確立し、群付加テンソル圏におけるモジュラリティや双対性といった概念を拡張する。
• T-余代数H上のYetter-Drinfeldモジュールを定義し、ホップ代数からの古典的定義を交叉群余代数設定に一般化する。
• T-圏としてのbraided T-圏としての同型性を示す：Rep(H)の中心、H上のYetter-Drinfeldモジュールのカテゴリ、および量子二重D(H)の表現カテゴリが同型であることを証明する。
• T-圏枠組みにリボンおよびモジュラー構造を拡張し、量子二重構成と整合することを示す。

提案手法

• Z-付加テンソル圏にπによる各成分への群作用（共役作用）を備えたT-圏を定義し、テンソル圏を一般化する。
• 自然同型が共役作用と整合性を満たすという普遍性を用いて、T-圏Tの中心Z(T)をbraided T-圏として構成する。
• braided T-圏からリボンT-圏を構成するためのねじれ拡張N(Z(T))Zを導入し、braided圏のリボン拡張を一般化する。
• T-余代数H上のYetter-Drinfeldモジュールを、Hα上での加群および各βに対して∆β: V → V ⊗ Hβを満たすcoaction写像の族として定義し、一般化された整合性公理を満たす。
• T-余代数Hの量子二重D(H)を、universal R行列を備えたT-余代数として構成し、Drinfeld二重を交叉設定に一般化する。
• 明示的なファンクターを用いて、Z(Rep(H)) ≅ YD(H) ≅ Rep(D(H))がbraided T-圏として同型であることを証明し、テンソル、braiding、単位の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Turaev交叉圏（T-圏）の群付加構造を持つ文脈において、Joyal-Streetの中心構成の適切な一般化は何か？
• RQ2 量子二重構成はホップ代数からT-余代数へどのように拡張可能であり、どのような構造を継承するか？
• RQ3 T-圏枠組みにおいて、Rep(H)の中心、H上のYetter-Drinfeldモジュールのカテゴリ、および量子二重D(H)の表現カテゴリの間の圏的関係は何か？
• RQ4 braiding、ねじれ、双対性構造はT-圏にどのように拡張され、中心および量子二重構成とどのように相互作用するか？
• RQ5 T-余代数から生じる圏にリボンおよびモジュラー構造を一貫して定義可能か？また、それらは量子二重の表現理論とどのように関係するか？

主な発見

• 有限型T-余代数Hの表現カテゴリRep(H)の中心は、braided T-圏としてH上のYetter-Drinfeldモジュールのカテゴリと同型である。
• H上のYetter-Drinfeldモジュールのカテゴリは、braided T-圏としてD(H)の表現カテゴリと同型である。
• T-余代数Hの量子二重D(H)は、universal R行列を備えたT-余代数として構成され、交叉設定へのDrinfeld二重の一般化である。
• リボンねじれ拡張RT(H)の表現圏にリボンT-圏構造を定義し、それがYetter-DrinfeldモジュールのカテゴリRib(H)と同型であることを示した。
• Yetter-DrinfeldモジュールのカテゴリRib(H)は、リボンねじれ拡張RT(H)の有限次元表現のカテゴリRepf(RT(H))と同型であり、リボン構造の圏的実現を確立した。
• 補題11.5は、H′が有限型T-代数であるとき、Repf(RT(D(H′)))とD(Rep(H′))がリボンT-圏として同型であることを確認しており、量子二重とリボン圏の間の双対性を拡張している。