[論文レビュー] Z_2 indices of odd symmetric Fredholm operators

Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Topological Materials and Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分離可能な複素ヒルベルト空間上の有界線形作用素として、I² = −1 を満たす実ユニタリ I に対して I∗TI = T∗ を満たす奇対称フレドホルム作用素—Z₂インデックス理論を導入する。古典的ノエターインデックスは消えるが、核次元の偶奇が安定ホモトピー不変量であることが示され、Gohberg-Krein定理を一般化するZ₂インデックスが得られ、奇時間反転対称性を有する二次元トポロジカルインスレータのトポロジカル不変量を提供する。非自明なZ₂インデックスは、非ゼロのスピンチャーン数を意味する。

ABSTRACT

A bounded operator T on a separable, complex Hilbert space is said to be odd sym-metric if I∗T tI = T where I is a real unitary satisfying I2 = −1 and T t denotes the transpose of T. The Noether index of an odd symmetric Fredholm operator vanishes, but the parity of the dimension of its kernel is shown to be a homotopy invariant that is stable under compact perturbations. The class of real skew-adjoint Fredholm operators for which Atiyah and Singer defined Z2-indices is a subset of infinite codimension within the set of odd symmetric Frehholm operators. As first example for an odd Z2-index theo-rem, a Z2-version of the Gohberg-Krein theorem is presented. An even Z2-index theorem leads to a phase label for two-dimensional topological insulators with odd time-reversal symmetry, for which non-trivial Z2-index enforces non-zero spin Chern numbers. 1 Resumé Let H be a separable, complex Hilbert space and I a real skew-adjoint unitary operator on H. Skew-adjointness of I is equivalent to I2 = −1 and implies that the spectrum of I is {−ı, ı}. Such an I exists if and only if H is even or infinite dimensional. One may assume to be I in the normal form I = ( 0 −11 0), see Proposition 6 below. This paper is about bounded linear operators T ∈ B(H) on H which are odd symmetric w.r.t. I in the sense that I ∗ T I = T ∗ ⇐ ⇒ I ∗ T t I = T, (1) where the complex conjugate T is defined in terms of complex conjugation C on H by T = CTC, and the transpose of T is T t = (T)∗. The set of bounded odd symmetric operators is denoted by B(H, I). Condition (1) looks like a quaternionic condition, but actually a quaternionic operator rather satisfies I∗TI = T and the set of quaternionic operators forms a multiplicative group, while B(H, I) does not. However, the following can easily be checked. Proposition 1 B(H, I) is a linear space and

研究の動機と目的

• 古典的ノエターインデックスが消える状況における奇対称フレドホルム作用素のZ₂インデックスを定義し、その性質を調査すること。
• コンパクト摂動の下で核次元の偶奇が安定ホモトピー不変量として不変であることを確立すること。
• 奇対称作用素に対して古典的Gohberg-Krein定理をZ₂設定に一般化すること。
• Z₂インデックスと、特に奇時間反転対称性を有する二次元トポロジカルインスレータにおけるスピンチャーン数を含む物性物理学のトポロジカル不変量との関係を明らかにすること。
• 奇対称フレドホルム作用素と、アティヤ＝シンガー指数理論で用いられる実スケッター随伴フレドホルム作用素のクラスとの関係を明確にすること。

提案手法

• I² = −1 を満たす実ユニタリ I に対して、I∗TI = T∗ を満たす作用素 T ∈ B(H) を奇対称作用素として定義する。
• 転置作用素 Tᵗ = (T)∗ を用い、複素共役を組み合わせることで、対称性条件を Tᵗ の形に表現する。
• 核次元の偶奇がコンパクト摂動の下で不変であることを示し、Z₂インデックスを確立する。
• 奇Z₂インデックス定理の最初の例として、Gohberg-Krein定理のZ₂版を構成する。
• 偶作用素に対するZ₂インデックスが、奇時間反転対称性を有する2次元トポロジカルインスレータにおける位相相のラベルを導くことを示す。
• Z₂インデックスとスピンチャーン数の関係を示し、非自明なインデックスが非ゼロのスピンチャーン数を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ノエターインデックスが消えるにもかかわらず、奇対称フレドホルム作用素の核次元の偶奇がコンパクト摂動の下で安定ホモトピー不変量として機能するか。
• RQ2 奇対称フレドホルム作用素に対するZ₂インデックスは、古典的Gohberg-Krein定理をどのように一般化するか。
• RQ3 奇対称フレドホルム作用素のクラスと、アティヤ＝シンガー理論で用いられる実スケッター随伴フレドホルム作用素のクラスとの関係は何か。
• RQ4 偶作用素に対するZ₂インデックスが、奇時間反転対称性を有する二次元トポロジカルインスレータにおける位相相ラベルをどのように導くか。
• RQ5 このような系において非自明なZ₂インデックスが、必然的に非ゼロのスピンチャーン数を意味するか。

主な発見

• 奇対称フレドホルム作用素の核次元の偶奇は、コンパクト摂動の下で安定ホモトピー不変量である。
• 核次元の偶奇によって定義されるZ₂インデックスは、Gohberg-Krein定理を奇対称設定に一般化する。
• Z₂インデックスを有する実スケッター随伴フレドホルム作用素のクラスは、奇対称フレドホルム作用素の集合において無限次元余次元の部分集合である。
• 偶Z₂インデックス定理により、奇時間反転対称性を有する二次元トポロジカルインスレータの位相相ラベルが得られる。
• このようなインスレータにおける非自明なZ₂インデックスは、非ゼロのスピンチャーン数を強制し、トポロジカル制約を確立する。
• Z₂インデックスは、奇時間反転対称性を有する系における位相相の分類に頑健な不変量を提供する。