[論文レビュー] Z_3 symmetry-protected topological phases in the SU(3) AKLT model

Takahiro Morimoto, Hiroshi Ueda+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃ に由来する非自明なコycleを用いて、3×3行列を用いた行列積状態（MPS）から導かれる、1次元のSU(3)スピン系におけるZ₃対称性保護型トップولوجical（SPT）位相を構築する。SU(3) AKLTハミルトニアンを、双線形項と双二次項を含む形で定義し、カップリング比の範囲にわたり非自明なZ₃ SPT位相を実現することが、iDMRGとストリングオーダー関数数の両方で確認された。

ABSTRACT

We study $\mathbb{Z}_3$ symmetry-protected topological (SPT) phases in one-dimensional spin systems with $Z_3 imes Z_3$ symmetry. We construct ground-state wave functions of the matrix product form for nontrivial $\mathbb{Z}_3$ phases and their parent Hamiltonian from a cocycle of the group cohomology $H^2(Z_3 imes Z_3,U(1))$. The Hamiltonian is an SU(3) version of the Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT) model, consisting of bilinear and biquadratic terms of su(3) generators in the adjoint representation. A generalization to the SU($N$) case, the SU($N$) AKLT Hamiltonian, is also presented which realizes nontrivial $\mathbb{Z}_N$ SPT phases. We use the infinite-size variant of the density matrix renormalization group (iDMRG) method to determine the ground-state phase diagram of the SU(3) bilinear-biquadratic model as a function of the parameter $θ$ controlling the ratio of the bilinear and biquadratic coupling constants. The nontrivial $\mathbb{Z}_3$ SPT phase is found for a range of the parameter $θ$ including the point of vanishing biquadratic term ($θ=0$) as well as the SU(3) AKLT point [$θ=\arctan(2/9)$]. A continuous phase transition to the SU(3) dimer phase takes place at $θ\approx -0.027π$, with a central charge $c\approx3.2$. For SU(3) symmetric cases we define string order parameters for the $\mathbb{Z}_3$ SPT phases in a similar way to the conventional Haldane phase. We propose simple spin models that effectively realize the SU(3) and SU(4) AKLT models.

研究の動機と目的

• Z_N×Z_N 対称性保護型のSPT位相を、高ランクのSU(N)スピン鎖に一般化すること。
• 1次元スピン系におけるSU(3)対称性のもとで、Z₃ SPT位相を同定および特徴付けること。
• 群コhomologyを用いて、非自明なZ₃ SPT位相の行列積状態波動関数および親ハミルトニアンを明示的に構成すること。
• ハルデーン位相に類似したストリングオーダー関数数を、Z₃ SPT位相に対して定義すること。
• iDMRGを用いてSU(3)双線形-双二次モデルの基底状態位相図を決定し、相転移を同定すること。

提案手法

• H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃ に由来する非自明なコycleを用いて、3×3行列を用いた行列積状態（MPS）からZ₃ SPT波動関数を構築する。
• SU(3) AKLTハミルトニアンを、su(3)の随伴表現における双線形-双二次モデルとして定義し、トレースがゼロとなる生成子 t^a を、tr(t^a t^b) = (1/2)δ_ab で正規化する。
• 無限大系密度行列くりこみ群（iDMRG）を用いて、カップリング比パラメータ θ の関数として基底状態位相図を計算する。
• ハルデーン位相に類似した非局所的変換を用いて、非自明な隠れた秩序を検出可能な、Z₃ SPT位相のストリングオーダー関数数を導入する。
• 転送行列 M = ∑_m A^m ⊗ (A^m)* を導出し、N=3 の場合に固有値として 1/N² と (N²−1)/N² を含むことを証明し、トポロジカルオーダーを確認する。
• 同様のMPSおよびハミルトニアンフレームワークを用いて、SU(N) AKLTモデルを一般化し、任意のNに対して非自明なZ_N SPT位相を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z₃×Z₃ 対称性のもとで、1次元のSU(3)スピン鎖にZ₃ 対称性保護型トップولوجical位相を実現できるか？
• RQ2 3×3行列を用いた行列積状態は、群コhomologyによる保護のもとで、非自明なZ₃ SPT位相をどのように構築できるか？
• RQ3 カップリング比 θ の関数として、SU(3)双線形-双二次モデルの基底状態位相図はどのようになるか？
• RQ4 SU(3) AKLT点と双二次項が消える極限は、両方とも同じ非自明なZ₃ SPT位相に属するか？
• RQ5 ハルデーン位相に類似したストリングオーダー関数数を、SU(3)鎖におけるZ₃ SPT秩序を検出するために定義できるか？

主な発見

• 非自明なZ₃ SPT位相は、カップリングパラメータ θ の範囲で実現され、SU(3) AKLT点（θ = arctan(2/9)）および双二次項が消える極限（θ = 0）を含む。
• θ ≈ −0.027π で、中心電荷 c ≈ 3.2 を示す連続的相転移が発生し、臨界的挙動を示す。
• SU(3) AKLTハミルトニアンは、su(3)の随伴表現における双線形-双二次項を含むモデルとして構築され、随伴表現の生成子を用いる。
• 基底状態は、隣接するサイト間のクォーク-反クォークのスピン singlet からなるバルェンス結合固体（VBS）であり、物理的自由度はSU(3)の基本表現および共役表現に従う。
• Z₃ SPT位相に対して、ハルデーン位相に類似したストリングオーダー関数数が定義され、隠れた対称性の破れのオーダー関数数として機能する。
• SU(N) AKLTモデルは一般化され、H²(Z_N×Z_N, U(1)) ≅ ℤ_N の群コhomologyデータを用いて、任意のNに対して非自明なZ_N SPT位相を実現する親ハミルトニアンが構成された。