[論文レビュー] $Z/m$-graded Lie algebras and perverse sheaves, II

G. Lusztig, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}/m$-階化リー代数の零尖点上における単純な $G_{\ubar{0}}$--equivariant な perverse sheaf を、Ext-群から導かれる半線形形式を持つ $\mathbb{Q}(v)$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ を用いて、組合せ論的枠組みでパラメトライズする。主な結果は、固定されたブロック内におけるこのような sheaf の集合が、符号付き基底 $\mathbb{B}'$ 上の $\pm$-作用の軌道と自然に同一視されることであり、これは $\mathbb{Z}$-階化の場合の Springer 対応を階化設定に一般化するものである。

ABSTRACT

We consider a fixed block for the equivariant perverse sheaves with nilpotent support in the $1$-graded ccomponent of a semisimple cyclically graded Lie algebra. We give a combinatorial parametrization of the simple objects in that block.

研究の動機と目的

• 固定された $\mathbb{Z}/m$-階化設定における $\mathfrak{g}_{\delta}^{\text{nil}}$ 上の単純な $G_{\ubar{0}}$-equivariant な perverse sheaf の組合せ論的パラメトライズーションを提供すること。
• $\mathbb{Z}/m$-階化の場合への $\mathbb{Z}$-階化リー代数に対する Springer 対応の一般化を、幾何的および組合せ論的データを用いて行うこと。
• この設定における交差コホモロジー複体の奇数次コホモロジー層の純粋性および消滅結果を確立すること。
• $\mathbb{Q}(v)$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ とその半線形形式、およびバー対合を定義し、その符号付き基底 $\mathbb{B}'$ がブロックをインデックスづけるように構成すること。

提案手法

• ブロック $^\xi\mathfrak{B}$ に関連する超平面配置を持つ $\mathbb{Q}$-ベクトル空間 $\mathbb{E}$ を構成し、その補集合がスパイラル誘導をインデックスづける部屋を形成する。
• これらの部屋から得られる $\mathbb{Q}(v)$-ベクトル空間 $\mathbb{V}'$ を定義し、$G_{\ubar{0}}$-equivariant な Ext-群の次元を用いて定義される半線形形式 $(:)$ を備える。
• $\mathbb{V} = \mathbb{V}' / \text{rad}(\,(:\,)$ として商をとる。ここで、radical は左および右の両方で同じであり、$\mathbb{V}$ 上に適切に定義された形式が得られる。
• バー対合 $\bar{\cdot}$ と $\mathbb{V}$ 内の $\mathcal{A}$-格子 $\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ を、両方とも組合せ論的に定義する。
• 符号付き基底 $\mathbb{B}' \subset \mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ を、バー写像で固定され、$(b:b) \in 1 + v\mathbb{Z}[[v]]$ を満たす元 $b$ として定義し、幾何的議論によりそれが適切に定義されることを示す。
• $\mathbb{B}' / \pm$ とブロック $^\xi\mathfrak{B}$ の間に自然な双対写像を構成し、 perverse sheaf の組合せ論的インデックス集合を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $\mathbb{Z}/m$-階化設定における $\mathfrak{g}_{\delta}^{\text{nil}}$ 上の単純な $G_{\ubar{0}}$-equivariant な perverse sheaf は、どのように組合せ論的にパラメトライズ可能か？
• RQ2 $\mathbb{Q}(v)$-ベクトル空間 $\mathbb{V}$ の構造は何か？ また、その半線形形式はスパイラル誘導間の Ext-群とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathbb{Z}/m$-階化の場合にも、ungraded な場合と同様に、交差コホモロジー複体の奇数次コホモロジーが消えるか？
• RQ4 符号付き基底 $\mathbb{B}'$ を構成し、その $\pm$-軌道がブロック内の perverse sheaf をインデックスづけるようにできるか？ これは ungraded な場合の一般化である。
• RQ5 純粋性および消滅性の性質が、$\mathbb{Z}$-階化から $\mathbb{Z}/m$-階化設定にどのように拡張されるか？

主な発見

• ブロック $^\xi\mathfrak{B}$ 内の単純な $G_{\ubar{0}}$-equivariant な perverse sheaf の数は、半線形形式の radical で割った $\mathbb{V}'$ の商 $\mathbb{V}$ の $\mathbb{Q}(v)$-次元に等しい。
• $\mathbb{V}'$ 上の形式 $(:)$ の左および右の radical が一致しており、$\mathbb{V}$ が適切に定義された半線形形式を引き継ぐことが保証される。
• $\mathbb{V}$ には自然なバー対合と、組合せ論的に定義された $\mathcal{A}$-格子 $\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ が存在する。
• 符号付き基底 $\mathbb{B}'$ は、$\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ の元 $b$ で $\bar{b} = b$ かつ $(b:b) \in 1 + v\mathbb{Z}[[v]]$ を満たすものであり、その $\pm$-軌道はブロック $^\xi\mathfrak{B}$ を自然にパラメトライズする。
• 任意の単純な $G_{\ubar{0}}$-equivariant な perverse sheaf $A$ のコホモロジー層 $\mathcal{H}^a(A)$ は、奇数 $a$ に対して消える。これは ungraded な場合の結果を一般化する。
• スパイラル誘導複体 $I_\varpi$ および誘導層 ${}^\epsilon\text{Ind}(A')$ は、すべての奇数次元コホモロジーを持たず、偶数次元のシフトの perverse sheaf の直和として表される。