[論文レビュー] Zero-temperature limit of one-dimensional Gibbs states via renormalization: the case of locally constant potentials

Jean-René Chazottes, J. M. Gambaudo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所定数ポテンシャルに対する1次元ギブズ状態のゼロ温度極限の存在と明示的特徴付けを、独創的な自己縮小手続きを用いて確立する。周期的軌道近似とペロン＝フロベニウスの定理、およびバーキホフの収縮係数を組み合わせることで、極限測度の重心分解の重みを再帰的に計算するアルゴリズムが導かれる。この極限測度は、有限個の有限型のトランスチーブサブシフトの和集合に台を持つ。

ABSTRACT

Let $A$ be a finite set and $ϕ:A^Z o R$ be a locally constant potential. For each $β>0$ ("inverse temperature"), there is a unique Gibbs measure $μ_{βϕ}$. We prove that, as $β o+\infty$, the family $(μ_{βϕ})_{β>0}$ converges (in weak-$^*$ topology) to a measure we characterize. It is concentrated on a certain subshift of finite type which is a finite union of transitive subshifts of finite type. The two main tools are an approximation by periodic orbits and the Perron-Frobenius Theorem for matrices á la Birkhoff. The crucial idea we bring is a "renormalization" procedure which explains convergence and provides a recursive algorithm to compute the weights of the ergodic decomposition of the limit.

研究の動機と目的

• 局所定数ポテンシャルに対する1次元ギブズ状態のゼロ温度極限が存在するかどうかを特定すること。
• 極限測度の台とエルゴード分解の観点からその正確な構造を特徴付けすること。
• 極限測度のエルゴード成分への分解における重みを構成的に計算する方法を開発すること。
• 収束のメカニズムを説明できる自己縮小に基づくアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 周期的配置の和としてギブズ状態を表現するために、周期的軌道近似を用いる。
• 転送作用素の漸近的挙動を分析するために、正則行列に対するペロン＝フロベニウスの定理とバーキホフの収縮係数を適用する。
• 反復的に問題をより小さなサブシフトに縮小する自己縮小手続きを導入し、極限測度の構造を保存する。
• 固有系の射影的安定性を用いて収束速度を制御し、反復間で一様なバウンドを保証する。
• トレース推定と経路数の組合せ的バウンドを用いて、重みの大きな成分以外の寄与を制御する。
• 連続する自己縮小ステップ間で極限測度の重みを結ぶ再帰的不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の局所定数ポテンシャルに対するギブズ状態のゼロ温度極限は存在するか？
• RQ2 存在する場合、極限測度の台とエルゴード分解の観点から、その正確な構造は何か？
• RQ3 極限測度のエルゴード成分の重みを明示的に計算する方法は何か？
• RQ4 これらの重みを決定する再帰的アルゴリズムを構築可能か？また、収束のメカニズムを説明できるか？

主な発見

• ギブズ状態のゼロ温度極限は存在し、有限個のトランスチーブサブシフトの有限和集合に台を持つ確率測度である。
• 極限測度は、エルゴード基底状態の均一重心であるとは限らない。明示的な例により、その重みが無理数である可能性があることが示された。
• 自己縮小手続きにより、極限測度の重心座標を有限ステップの再帰的アルゴリズムで計算可能である。
• 非重い成分への測度質量の指数的減少が保証され、$ e^{-eta heta} $ のオーダー（$ heta > 0$）のバウンドが得られ、収束が確認された。
• エルゴード成分の重みは、ポテンシャルと遷移構造の自己縮小から導かれる再帰的システムを解くことで決定される。
• ポテンシャルの有限範囲性と局所定数性のおかげで、アルゴリズムは有効かつ有限ステップで終了する。