[論文レビュー] Zeroes of $L$-series in characteristic $p$

David Goss|ArXiv.org|Jan 30, 2006

advanced mathematical theories参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特徴量 $p$ の関数体上の $L$-級数の非古典的自明零点が、関連する整数の $p$-進桁の和の有界性と関連することを示す一般的予想を提示する。Thakur や Diaz-Vargas の先行研究を拡張し、このような零点——古典的期待を超えて高次の消失を示す零点——が、負の整数の $p$-進桁の和が有界である場合にのみ発生することを示唆しており、正標数における関数方程式の背後にあるより深い構造を示している。

ABSTRACT

In the classical theory of $L$-series, the exact order (of zero) at a trivial zero is easily computed via the functional equation. In the characteristic $p$ theory, it has long been known that a functional equation of classical $s\mapsto 1-s$ type could not exist. In fact, there exist trivial zeroes whose order of zero is ``too high;'' we call such trivial zeroes ``non-classical.'' This class of trivial zeroes was originally studied by Dinesh Thakur \cite{th2} and quite recently, Javier Diaz-Vargas \cite{dv2}. In the examples computed it was found that these non-classical trivial zeroes were correlated with integers having {\it bounded} sum of $p$-adic coefficients. In this paper we present a general conjecture along these lines and explain how this conjecture fits in with previous work on the zeroes of such characteristic $p$ functions. In particular, a solution to this conjecture might entail finding the ``correct'' functional equations in finite characteristic.

研究の動機と目的

• 関数体の特徴量 $p$ における $L$-級数の非古典的自明零点の構造を理解すること。これは、期待されるよりも高次の消失を示すため、古典的挙動とは逸脱する。
• Thakur や Diaz-Vargas が得た経験的観察を一般化すること。非古典的零点は、関連する整数の $p$-進桁の和が有界であることと相関している。
• 非古典的零点集合を有界な $p$-進桁の和によって特徴づける統一的予想を提示すること。これにより、有限標数における「正しい」関数方程式が明らかになる可能性がある。
• この予想が $p$-進 $L$-関数およびニュートン多角形の傾きの構成に与える影響を、特に非古典的零点の観点から探求すること。
• Drinfeld モジュールの $L$-級数を超えて、モチーフやガロア表現へのこの性質の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 非古典的零点集合 $N_w$ が、$p$-進桁の和 $l_p(j)$ が有界である整数 $j$ からなるという一般的予想（予想1）を提示する。
• 特に $A = \mathbb{F}_r[T]$（$r = p^m$）を用いて、関数体上の Drinfeld モジュールと $L$-級数の枠組みを用い、リーマンゼータ関数の特徴量 $p$ の類似をモデル化する。
• 負の整数における $L$-級数の消失の次数を分析し、古典的零点（次数 $1$）と非古典的零点（次数 $>1$）を区別し、これと $p$-進桁の和を関連付ける。
• Wan らの研究によるニュートン多角形理論の結果を適用し、零点が絶対値によって一意に決定され、古典的ケースでは単純であることを示す。これに対して非古典的ケースとは対照的である。
• 整数 $\alpha$ の $p$-進桁を用いた帰納的構成法を用い、非古典的零点がニュートン多角形の傾きを $1$ より大きくする可能性があるかを検討する。
• 例 4 により、予想1が成り立つならば、非古典的零点のみから生じるような病理的 $\alpha$-構成は成立せず、$l_p(j) > C$ のときその影響は消えることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $j$ のうち、$L$-級数 $\zeta_A(s)$ が $s = -j$ で非古典的自明零点を持つのはどのような場合か？
• RQ2 非古典的自明零点かどうかを決定づける正確な算術的不変量——例えば $p$-進桁の和——が存在するか？
• RQ3 非古典的零点集合は、$p$-進桁の和 $l_p(j)$ の有界性によって完全に記述可能か？ もしそうならば、その有界値はどのように決定されるか？
• RQ4 非古典的零点の構造は、古典的 $s \mapsto 1-s$ 対称性が成立しない正標数における関数方程式の存在とどのように関係するか？
• RQ5 この予想は、Drinfeld モジュールの $L$-級数を超えて、モチーフやガロア表現の $L$-級数へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 特徴量 $p$ の関数体上の $L$-級数の非古典的自明零点は、$s = -j$ における消失の次数が古典的下界を超える場合に発生し、その場合、関連する整数 $j$ の $p$-進桁の和 $l_p(j)$ が有界であると相関している。
• $A = \mathbb{F}_2[T]$ の場合、Thakur は $\zeta_A(s)$ が $s = -j$ に非古典的零点を持つための必要十分条件として $l_2(j) \leq g$（$g$ は関数体の genus）であることを示しており、この有界値は鋭い。
• $A = \mathbb{F}_3[T]$ の場合、Thakur の結果により $s = -7$ における零点は単純であることが示され、$l_2(7) = 4 > 2$ であることに一致しており、有界な桁の和を持つ場合にのみ非古典的零点が現れることを支持する。
• この予想により、$l_p(j)$ が特定の有界値 $C$ を超えると、$s = -j$ における零点は古典的（つまり単純）になることが示され、非古典的零点が $p$-進 $L$-関数の傾きに与える影響が制限されることを示している。
• 例 4 により、予想1が成り立つならば、無限に多くのニュートン多角形の傾きが $1$ より大きい $p$-進数 $\alpha$ の構成は、非古典的自明零点のみでは成立せず、$p$-進桁の和が有界値を超えるとその寄与は消える。
• この予想により、特徴量 $p$ における「正しい」関数方程式は、$s \mapsto 1 - s$ ではなく $s \mapsto k - s$ の形を取る可能性がある。例 5 では $L(\psi,s) = \zeta_A(s-1)$ であるため、$L(\psi,s)$ における $j$ の非古典的性質は、$l_p(j+1)$ が有界であることに対応する。