[論文レビュー] Universality and asymptotics of graph counting problems in nonorientable surfaces

Stavros Garoufalidis, Marcos Mariño|ArXiv.org|Dec 5, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非可定向な曲面上のグラフ数え上げをモデル化するリッカティ方程式に対する形式的べき級数解 $ v(z) $ を導入し、その係数と実射影平面上の根付き四角格子を数える定数 $ p_g $ の間に深い関係があると仮説を立てている。ボレル変換と行列模型技術を用いて、正確な漸近展開を導出し、ストークス定数とトランスシリーズ行動に関する強力な数値的証拠を提示しており、$ \mathrm{O}(N) $ および $ \mathrm{Sp}(N) $ の自由エネルギーがゼロの近傍で正則である可能性を示唆している。

ABSTRACT

Bender-Canfield showed that a plethora of graph counting problems in oriented/unoriented surfaces involve two constants $t_g$ and $p_g$ for the oriented and the unoriented case respectively. T.T.Q. Le and the authors recently discovered a hidden relation between the sequence $t_g$ and a formal power series solution $u(z)$ of the Painlevé I equation which, among other things, allows to give exact asymptotic expansion of $t_g$ to all orders in $1/g$ for large $g$. The paper introduces a formal power series solution $v(z)$ of a Riccati equation, gives a nonlinear recursion for its coefficients and an exact asymptotic expansion to all orders in $g$ for large $g$, using the theory of Borel transforms. In addition, we conjecture a precise relation between the sequence $p_g$ and $v(z)$. Our conjecture is motivated by the enumerative aspects of a quartic matrix model for real symmetric matrices, and the analytic properties of its double scaling limit. In particular, the matrix model provides a computation of the number of rooted quadrangulations in the 2-dimensional projective plane. Our conjecture implies analyticity of the $\mathrm{O}(N)$ and $\mathrm{Sp}(N)$-types of free energy of an arbitrary closed 3-manifold in a neighborhood of zero. Finally, we give a matrix model calculation of the Stokes constants, pose several problems that can be answered by the Riemann-Hilbert approach, and provide ample numerical evidence for our results.

研究の動機と目的

• 非可定向な曲面上のグラフ数え上げを支配するリッカティ微分方程式に対する形式的べき級数解 $ v(z) $ を確立すること。
• 実射影平面上の根付き四角格子を数える定数 $ p_g $ と $ v(z) $ の係数との間の明確な関係を仮説すること。
• ボレル変換技術と非線形再帰関係を用いて、$ v_n $ のすべての $ 1/g $ の次数における正確な漸近展開を導出すること。
• 実対称行列の四次行列模型のダブルスケーリング極限において、ストークス定数とトランスシリーズ行動に関する数値的証拠を提供すること。
• 行列模型の結果に基づき、任意の閉3次元多様体の $ \mathrm{O}(N) $ および $ \mathrm{Sp}(N) $ の自由エネルギーがゼロの近傍で正則であると仮説すること。

提案手法

• 実対称行列の行列模型のダブルスケーリング極限から導かれるリッカティ微分方程式を満たす形式的べき級数 $ v(z) $ を導入すること。
• ボレル変換の理論を用いて、$ g $ が大きい場合の $ 1/g $ のすべての次数における $ v_n $ の正確な漸近展開を計算すること。
• リーマン-ヒルベルト法とトランスシリーズ解析を用いて、行列模型のストークス線を越える不連続性からストークス定数を抽出すること。
• リチャードソン変換を数値的に実装し、漸近列 $ s_n $ から係数 $ a_k $ を抽出することで、$ a_0 $ および $ a_1 $ への収束を改善すること。
• 行列模型の自由エネルギー $ \mathcal{F}^{(1)}_{\beta} $ を $ v(z) $ および $ u(z) $ と関連づけ、$ v_1(z) $ が $ \beta = 1/2 $ 解の1階微分に一致することを特定すること。
• 行列模型を用いて $ k $-インスタントン展開を計算し、ストークス定数 $ S_{-1} = -i\sqrt{6}/12 $ の値を仮説すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実射影平面上の根付き四角格子を数える列 $ p_g $ と、リッカティ方程式の形式的解 $ v(z) $ の係数との間に普遍的な関係が存在するか？
• RQ2 ボレル変換法により、$ v_n $ の $ 1/g $ のすべての次数における正確な漸近展開が得られるか？
• RQ3 行列模型のダブルスケーリング極限のストークス定数が、$ v(z) $ のトランスシリーズ展開の係数と一致するか？
• RQ4 行列模型の結果が示唆するように、任意の閉3次元多様体の $ \mathrm{O}(N) $ および $ \mathrm{Sp}(N) $ の自由エネルギーはゼロの近傍で正則か？
• RQ5 リーマン-ヒルベルト法は、多項式ポテンシャルを持つ行列模型の $ k $-インスタントン展開を厳密に計算できるか？

主な発見

• 列 $ s_n = 2\pi(A/2)^n / \Gamma(n) \cdot v_n $ は $ \sum_{k=0}^\infty a_k / n^k $ に漸近的に近づき、$ a_0 = -iS' $ である。数値的証拠により $ a_0 = \sqrt{6} $ が28〜30桁の精度で確認された。
• $ s_n $ のリチャードソン変換は急速に収束する：$ s^{(30)}_{250} = 2.44948974278317809819728407471\ldots $ であり、$ \sqrt{6} $ と非常に高い精度で一致する。
• 係数 $ a_1 $ は数値的に $ -1/5 $ であることが確認され、$ \frac{1}{2}\nu_1 A = -1/5 $ という仮説と整合的である。
• ストークス定数 $ S_{-1} $ は、トランスシリーズ係数の数値的漸近的性質に基づき、$ -i\sqrt{6}/12 $ であると仮説された。
• 行列模型の計算により、$ \mathcal{F}^{(1)}_{\beta=1/2}(z) \sim i/\sqrt{2} \cdot \exp(-4\sqrt{3}/5 \cdot z^{5/4}) $ が得られ、$ v(z) $ の微分と一致した。
• 本稿では、非可定向グラフ数え上げ列における特定の定数 $ p_{41/2} $ の数値的値が、ガンマ関数および $ \sqrt{6} $ を含む有理数として与えられている。